Polynomin nollakohdat

Olkoon (K[x], +, ^. ) polynomirengas yli kunnan (K, +, ^. ). Jos f(x) = a ₀ +a₁x++a_nxⁿ K[x] ja c K, niin merkitään

Huomaa, että f(c) on kunnan K alkio. Kun polynomi f(x) on kiinnitetty saadaan tuttu polynomikuvaus

Jos erityisesti f(c) = 0_K, sanotaan, että c on polynomin f(x) nollakohta tai yhtälön f(x) = 0_K juuri.

Oletetaan, että f(x),g(x) K[x] ja c K. Jos a(x) = f(x) + g(x) ja b(x) = f(x) ^. g(x), niin nähdään, että a(c) = f(c) + g(c) ja b(c) = f(c) ^. g(c). Täten jokainen renkaan (K[x], +, ^. ) polynomien toteuttama yhtälö toteutuu kunnassa K, kun muuttujan x paikalle sijoitetaan mikä tahansa kunnan K alkio c.

Lause. Olkoon f(x) K[x] ja c K. Silloin f(c) = 0_K jos ja vain jos (x - c) | f(x).

Todistus. Oletetaan ensin, että f(c) = 0_K. Silloin jakoalgoritmin nojalla on olemassa sellaiset polynomit q(x),r(x) K[x], että f(x) = q(x)(x-c) + r(x) ja deg r(x) < deg(x-c) = 1. Täten r(x) on vakiopolynomi r K. Koska f(c) = 0_K, niin sijoittamalla c edellä saatuun polynomin f(x) lausekkeeseen saadaan 0_K = q(c)(c - c) + r = r. Siis f(x) on jaollinen polynomilla x - c.

Oletetaan toiseksi, että (x - c) | f(x). Silloin on olemassa sellainen polynomi g(x) K[x], että f(x) = g(x)(x - c). Sijoittamalla tähän yhtälöön x = c saadaan tulos f(c) = 0_K.

Lause. Olkoon f(x) K[x] astetta n oleva polynomi. Polynomilla f(x) on enintään n eri nollakohtaa kunnassa K.

Todistus. Todistetaan väite induktiolla. Jos polynomin f(x) aste n = 0, niin väite on selvä. Oletetaan, että kaikille enintään (n - 1)-asteisille polynomeille väite pitää paikkansa. Olkoon f(x) astetta n ja n > 1. Jos polynomilla f(x) on nollakohta c K, niin edellisen lauseen mukaan on olemassa sellainen polynomi f₁(x) K[x], että f(x) = (x-c)f₁(x). Jos myös c₁ on polynomin f(x) nollakohta ja c₁c, niin 0_K = f(c₁) = (c₁ - c)f₁(c₁). Koska kunnassa ei ole nollanjakajia, niin f₁(c₁) = 0_K. Siis jokainen polynomin f(x) nollakohdasta c eroava nollakohta on myös polynomin f₁(x) nollakohta. Koska deg f₁(x) = deg f(x) - 1 = n - 1, niin induktio-oletuksen nojalla polynomilla f₁(x) on enintään n- 1 nollakohtaa. Täten polynomilla f(x) on enintään n nollakohtaa.

Määritelmä. Polynomia f(x) K[x] sanotaan jaottomaksi, jos f(x) ei ole vakiopolynomi eikä kahden positiivista astetta olevan polynomirenkaan K[x] polynomin tulo. Sanotaan, että f(x) on jaoton yli kunnan K tai kunnan K suhteen.

Kaikki ensimmäisen asteen polynomit ovat jaottomia. Jos f(x) K[x], deg f(x) > 1 ja f(c) = 0_K , jollakin c K, niin sivun ensimmäisen lauseen mukaan f(x) ei ole jaoton yli kunnan K. Toisen tai kolmannen asteen polynomi f(x) on jaoton yli kunnan K jos ja vain jos polynomilla f(x) on nollakohta kunnassa K, sillä jos f(x) on jaollinen joillakin polynomeilla, niin ainakin yhden näistä polynomeista on oltava astetta yksi. Mikäli polynomin f(x) aste on suurempi kuin kolme voi polynomi hajota positiiviasteisiin tekijöihin yli kunnan K, vaikkei sillä olisi ainuttakaan nollakohtaa kunnassa K.

Linkit:
Polynomirengas
Polynomin aste
Polynomien jakoalgoritmi
Esimerkkejä polynomirenkaista