Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		POLYNOMIRENKAAT
 

Esimerkkejä kuntalaajennuksista polynomirenkaissa

Esimerkki. Tutkitaan reaalilukujen kuntaa (R, +, . ). Olkoon p(x) = x2 + 1. Kuten sivulla Esimerkkejä polynomirenkaista todettiin on p(x) jaoton yli kunnan R. Merkitään I =< x2 + 1 > . Sivun Polynomirenkaan jäännösluokkarenkaasta perusteella saadaan siis kunta

R[x]/I = {a + bx + I |a,b (- R},

jonka operaatiot ovat, kun a + bx + I,a' + b'x + I (- R[x]/I,

(a + bx + I) + (a'+ b'x + I) = (a + a') + (b + b')x + I, (a + bx + I) .(a'+ b'x + I) = (aa'- bb') + (ab'+ a'b)x + I.
Tuloa laskettaessa vähennettiin jäännösluokan edustaja bb'(x2 + 1). Sivun Kuntalaajennus polynomirenkaassa lauseen mukaan polynomilla x2 + 1 on nollakohta kuntalaajennuksessa R[x]/I.

Saatu kunta on kompleksilukujen kunta (C, +, . ). Yhteyden näkee helpoiten, kun merkitään a + bx + I = a + bi.

Sivun Kuntalaajennus polynomirenkaassa lauseen todistuksen perusteella polynomin y2 + 1 nollakohta kunnassa (R[x]/I, +, . ) on x + I, siis 0 + 1 . i = i, kuten pitääkin.

Esimerkki. Polynomi p(x) = x2 + x + 1- on jaoton yli kunnan (Z 2, +, . ), sillä p(0-) = 1- ja p(- 1) = - 1. Täten saadaan kunta, kun merkitään I =< p(x) >,

Z2[x]/I = {a +-bx + I |a,b- (- Z2} = {I,1 + I,x + I,1 + x + I}.

Kyseessä on siis neljän alkion kunta. (Tämä on Galois’n kunta GF(22).) Jos kunnan alkioita merkitään seuraavasti: 0 = I (nolla-alkio), 1 = 1- + I (ykkösalkio), a = x + I ja b = - 1 + x + I, saadaan additiiviselle ja multiplikatiiviselle ryhmälle seuraavat taulut.

| | +01a---b- . |1 a b 001a b ----|---------- 110b a 1 |1 a b aab0 1 a |a b 1 | b |b 1 a bba1 0
Taulussa esimerkiksi tulo ab laskettiin seuraavasti:
-- -- -- -- ab=(x + I)(1 + x + I) = x(1 + x) + I = x + x2 + I = - 1 + I = 1 + I = 1.

Tauluja apuna käyttäen todetaan, että a on polynomin x2 + x + -- 1 nollakohta. Nimittäin

-- -- -- -- -- a2 + a + 1 = b + a + 1 = 1 + 1 = 0.

Linkit:
Esimerkkejä polynomirenkaista
Polynomirenkaan jäännösluokkarenkaasta
Kuntalaajennus polynomirenkaassa