Kanavan rakentaminen
Syksyn pitkän matematiikan ylioppilastehtävä vuodelta 1994
Kaksi järveä on
yhdistettävä mahdollisimman lyhyellä kanavalla. Määritä kanavan alku- ja loppupisteet
koordinaatistossa, jossa järvien välisen kannaksen kapein kohta voidaan esittää muodossa
-(x + 1) < y < x2 , -2 < x < 1.
Ratkaisu
Paraabelin y = x2 tangenttien kulmakertoimet ovat muotoa y'= 2x. Suoran y = -x - 1
suuntaisen tangentin kulmakerroin on -1, joten tällainen tangentti löytyy paraabelin
pisteestä:
2x | = | -1 | | |
x | = | -. | | |
Vastaava y-koordinaatti on y = .
Tangentin normaalin kulmakerroin kn saadaan yhtälöstä ( kohtisuoruusehto)
-1 . kn = -1.
Näin ollen pisteeseen (-, ) piirretyn normaalin yhtälö on Suoran y = -x - 1 ja normaalin y = x + leikkauspiste (yhtälöparin avulla) on
(-, -).