Kottikärryjen tilavuus

Kottikärryn pohja on suorakulmio, jonka sivut ovat 23 cm ja 20 cm. Laitatasoista kolme muodostaa pohjatason kanssa 120^o kulman ja toinen lyhyemmän pohjasivun vastaisista laitatasoista 135^o kulman kärryn sisäpuolelta katsottuna. Kärryn reunat muodostavat suorakulmion, joka on pohjan suuntaisessa, pohjasta etäisyydellä 30 cm sijaitsevassa tasossa. Laske kärryn tilavuus.

Ratkaisu

Sijoitetaan kottikärry koordinaatistoon siten, että kottikärryn pohja sijaitsee xy-tasossa. Kottikärryn yläreunat ovat tasossa z = 30.

Kottikärryn tasoleikkauksen pinta-ala korkeudella z = v_j on

A(v_j) = (23 + v_jtan 30^o + v_jtan 45^o) ^. (20 + 2v_jtan 30^o).

Jos tässä kohdassa olevan viipaleen paksuus on

z_j, viipaleen tilavuus on A(v_j)

z_j. Koko kärryn tilavuutta approksimoi Riemannin summa

sum n

j=1 A(v_j)z_j,

missä summataan kaikkien viipaleiden tilavuudet. Viipaleita ohennettaessa tämä johtaa kottikärryn tilavuutta esittävään määrättyyn integraaliin

A(z) dz	= (23 + z + ) ^. (20 + ) dz
	= 20 ^. 23 ^. 30 + ^. 20 ^. 30² + ^. ^. 30²
	+ ^. ^. 30² + ^. ^. 30³ + ^. ^. 30³
	= 56340.

Kottikärryn tilavuudeksi saadaan 56.3 dm³.

Laske kottikärryn tilavuus myös paloittelemalla kärry sopiviin monitahokkaisiin. Vertaa monitahokkaiden tilavuuksia integraalista saatuihin summattaviin.

Huom! Kottikärryn tilavuutta ei voida laskea käyttäen katkaistun pyramidin kaavaa, sillä kottikärry ei ole katkaistu pyramidi!

Piilota ratkaisu