Pässi ja saari 1

Olipa kerran mies, joka omisti pässin. Tällä miehellä oli vain yksi murhe: Mistä saada pässille ruokaa? Eräänä päivänä mies kysäisi tuttavaltaan, tietäisikö hän ratkaisua. Tuttava totesi: ”Voi veikkonen, minullahan on se täysin ruohon vallassa oleva saari! Mutta pässisi ei saa syödä kuin puolet saaren ruohosta. Tehdäänpä niin, että kiinnität pässisi liekanarun saaren rannassa olevaan tolppaan ja säädät narun pituuden siten, että saareni ruohosta puolet pysyy pässisi ulottumattomissa.” Vielä, kun tiedetään, että saari on ympyrän muotoinen ja sen halkaisija on sata metriä, niin kuinka pitkä liekanaru miehen pitäisi nälkäiselle pässilleen hankkia?

Ratkaisu

Olkoon ympyräsektoria vastaavan keskuskulman puolikas

. Segmenttiä vastaavan sektorin keskuskulma on

- 2

. Segmentin pinta-alaksi saadaan

br2
----
2 - RV ~ r2---R2/4-
--------------
2 ,

missä r on saaren säde ja R liekanarun pituus. Pässin ulottuvissa olevan alueen ala on sektorin ja kahden segmentin yhteenlaskettu ala:

2aR2--
2 + 2 ^. V~ --------
( 2 R2-)
(p---2a)r2- --r-----4-
2 - 2 .

Liekanarun pituus on R = 2rcos

. Koska pässille sallittu ala on puolet koko saaren pinta-alasta, saadaan yhtälö, jonka sievennetty muoto on

2cos 2 - sin 2 + /2 = 0.

Sievennyksessä on käytetty sinin ja kosinin kaksinkertaisen kulman kaavoja. Yhtälö voidaan ratkaista graafisesti, Newtonin iteraatiolla tai haarukoimalla. Käsin laskettaessa kannattanee ottaa apumuuttujaksi t = 2

Kuvan perusteella on ilmeistä, että kulma on lähellä arvoa 1 radiaani, jolloin yhtälön juurta kannattaa etsiä tämä läheisyydestä. Tulokseksi saadaan = 0.952..., mikä vastaa liekanarun pituutta 58 metriä.

Piilota ratkaisu