4 Matriisit ja vektorit

4.1 Matriisin käsite

4.2 Matriisialgebra

Tehtävä 110

Olkoon

A = ,     B = .

Laske A + B, A + B, AB ja BA.

Vastaus

---

Tehtävä 111

Olkoon A = ja B = ^T. Laske AB ja BA.

Vastaus

---

Tehtävä 112

Olkoon

A = ,     x = .

Minkä kokoisia matriiseja ovat x^Tx, xx^T, Ax, x^TAx ja xx^TA? Laske ne.

---

Tehtävä 113

Olkoon matriisi, jonka kaikki alkiot ovat = 1, ja olkoon lävistäjämatriisi, jonka lävistäjäalkiot ovat 1, 2 ja 3. Laske A ja A.

---

Tehtävä 114

Olkoon

A = ,   u = ;

laske u^T Au, u^Tu, uu^T.

Vastaus

---

Tehtävä 115

Olkoon

A = .

Laske potenssit A^k, k = 1, 2, 3, . . . , 1992.

---

Tehtävä 116

Millä tyyppiä koskevilla oletuksilla matriisit AB ja BA ovat a) molemmat määriteltyjä, b) samaa tyyppiä?

Vastaus

---

Tehtävä 117

Onko matriiseille voimassa   a) (A + B)² = A² + B² + 2AB,   b) (A + B)(A - B) = A² - B²?

Vastaus

---

Tehtävä 118

Todista matriisialgebran osittelulaki A(B + C) = AB + AC.

---

Tehtävä 119

Olkoon A neliömatriisi ja olkoot B ja C samantyyppisiä matriiseja. Todista: Jos A on säännöllinen, niin AB = AC B = C.

---

Tehtävä 120

Todennäköisyyslaskennassa tarkastellaan ns. Markovin prosesseja, jotka kuvaavat systeemiä, joka voi olla äärellisen monessa eri tilassa. Siirtymistodennäköisyydet tilasta toiseen muodostavat neliömatriisin A, jonka kaikki alkiot ovat > 0 ja jossa vaakariveittäin lasketut summat ovat = 1. Muodosta tällaisia matriiseja ja tutki matriisin Aⁿ alkioiden raja-arvoja, kun n . Esitä hypoteesi alkioiden käyttäytymisestä.

---

Tehtävä 121

Matriisin alkiot ovat _ij = i^j. Kirjoita matriisi A ja laske matriisitulo AA^T tapauksessa n = 3. Laske yleisessä tapauksessa (arvolla n) tulomatriisin AA^T kohdassa (i, j) oleva alkio indeksien i ja j funktiona.

---

Tehtävä 122

Olkoot A ja B kokoa 10 × 10 olevia matriiseja, joiden alkiot ovat _ij = i + j, _ij = i - j. Laske tulomatriisin C = AB alkio _ij indeksien i, j funktiona.

Vastaus

---

Tehtävä 123

Laske (AB)^k, k , kun

A = ,     B = .

---

Tehtävä 124

Muodosta jokin pystyvektori x. Laske r = x^Tx ja u = x/. Mitä r kertoo vektorin x alkioista? Mikä ominaisuus on vektorin u alkioilla? Muodosta matriisi H = I - 2uu^T ja sen käänteismatriisi H^-1. Miten nämä suhtautuvat toisiinsa? Onko H symmetrinen tai ortogonaalinen?

---

Tehtävä 125

Osoita, että edellisen tehtävän matriisi H on involutorinen, ts. HH = I riippumatta vektorista x. Mitä tämä tulos sanoo käänteismatriisista?

---

Tehtävä 126

Hae kaikki matriisit B, jotka kommutoivat matriisin

A =

kanssa, ts. joille pätee AB = BA.

Vastaus

---

Tehtävä 127

Osoita, että jos A ja B ortogonaalimatriiseja, niin myös AB ja A^-1 ovat ortogonaalisia.

---

Tehtävä 128

Olkoon A kokoa 3 × 3 oleva ortogonaalimatriisi, jonka alkioista tiedetään seuraavaa:

₁₁ = ,   ₁₂ = -,   ₁₃ > 0,   ₂₁ < 0,   ₂₂ = .

Määritä A ja A^-1.

---

Tehtävä 129

Todista, että jos matriisille A pätee A^T + A = O ja käänteismatriisi (I + A)^-1 on olemassa, niin matriisi B = (I + A)^-1(I - A) on ortogonaalinen.

---

Tehtävä 130

Todista, että jokainen ortogonaalinen 2 × 2-matriisi voidaan kirjoittaa jompaankumpaan seuraavista muodoista:

  tai   .

---

4.3 Lineaarinen yhtälöryhmä

Tehtävä 131

Totea, että yhtälöryhmän

kerroinmatriisi on ortogonaalinen ja käytä tätä tietoa hyväksi yhtälöryhmän ratkaisemisessa.

Vastaus

---

Tehtävä 132

Olkoon

a)

A = ,

C = ,

b = ,

b)

A = ,

C = ,

b = .

Laske tulo CA. Tutki, voidaanko lineaarinen yhtälöryhmä Ax = b ratkaista kertomalla se vasemmalta matriisilla C. Mitä tällöin saadaan ratkaisuvektoriksi x? Onko kyseessä matriisiyhtälön ratkaisu?

---

Tehtävä 133

Ratkaise Gaussin algoritmilla lineaariset yhtälöryhmät

a)	,	b)	,
c)	,	d)	.

---

Tehtävä 134

Ratkaise Gaussin algoritmilla yhtälöryhmä Ax = b, kun

a)

A = ,

b = ,

b)

A = ,

b = ,

c)

A = ,

b = ,

d)

A = ,

b = .

Vastaus

---

Tehtävä 135

Olkoon

A = ,   b = .

Tutki yhtälöryhmän Ax = b ratkaisujen lukumäärää lukujen , eri arvoilla.

Vastaus

---

Tehtävä 136

Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b, kun

A = ,   b = .

---

Tehtävä 137

Olkoon

A = ,   b = .

Osoita, että yhtälöryhmällä Ax = b ei ole ratkaisua. Tietyssä mielessä (pienimmän neliösumman mielessä) mahdollisimman hyvä ratkaisu (joka ei kuitenkaan — tietenkään — toteuta yhtälöryhmää) saadaan ratkaisemalla matriisiyhtälö A^TAx = A^Tb. Muodosta tämä yhtälöryhmä ja ratkaise se. Piirrä ryhmän yhtälöiden kuvaajat sekä saatu pienimmän neliösumman periaatteen mukainen ratkaisu tasoon ².

---

4.4 Vektoriavaruus ⁿ

Tehtävä 138

Tutki avaruuden ⁴ vektoreiden ^T, ^T, ^T lineaarista riippumattomuutta.

Vastaus

---

Tehtävä 139

Tutki, ovatko vektorit ^T, ^T, ^T lineaarisesti riippumattomia. Voidaanko vektori ^T lausua näiden lineaariyhdistelynä? Jos voidaan, niin onko esitys yksikäsitteinen?

Vastaus

---

Tehtävä 140

Osoita, että vektorit ^T, ^T ja ^T muodostavat avaruuden ³ kannan. Laske vektorin ^T koordinaatit tässä kannassa.

---

Tehtävä 141

Osoita, että vektorit a₁ = ^T, a₂ = ^T, a₃ = ^T muodostavat avaruuden ³ kannan. Mitkä ovat vektorin x = ^T koordinaatit tässä kannassa?

Vastaus

---

Tehtävä 142

Tutki, muodostavatko vektorit

a₁ = ^T,  a₂ = ^T,  a₃ = ^T,  a₄ = ^T

avaruuden ⁴ kannan. Voidaanko vektori x = ^T lausua näiden lineaariyhdistelynä?

---

Tehtävä 143

Millä lukuja , , , koskevalla ehdolla vektorit x + y ja x + y ovat lineaarisesti riippumattomia, jos vektorit x ja y a) ovat, b) eivät ole lineaarisesti riippumattomia?

Vastaus

---

Tehtävä 144

Todista, että jos vektorit a₁, . . . , a_p ovat lineaarisesti riippuvia, niin myös vektorit ₁ a₁ , . . . , _pa_p ovat. Todista, että jos a₁, . . . , a_p ovat lineaarisesti riippumattomia, niin vektorit ₁a₁, . . . , _pa_p ovat lineaarisesti riippumattomia, jos ja vain jos tulo ₁. . . _p on 0.

---

Tehtävä 145

Olkoot vektorit a₁, . . . , a_p lineaarisesti riippumattomia. Tutki, ovatko seuraavat vektorisysteemit lineaarisesti riippumattomia:

a)	a1,  a2 + a1,  a3 + a2,  . . . ,  ap + ap-1,
b)	a1 - ap,  a2 - a1,  a3 - a2,  . . . ,  ap - ap-1,
c)	a1,  . . . ,  aj-1,  aj + ak,  aj+1,  . . . ,  ap,  missä kj.

Vastaus

---

4.5 Determinantti

Tehtävä 146

Laske Gaussin algoritmilla, alideterminanttikehitelmää käyttäen ja Sarrus’n säännöllä seuraavat determinantit:

a)  ,   b)  ,   c)  .

Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla.

Vastaus

---

Tehtävä 147

Laske sekä Gaussin algoritmilla että alideterminanttikehitelmää käyttäen seuraavat determinantit:

a)  ,   b)  ,   c)  .

Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla.

Vastaus

---

Tehtävä 148

Laske determinantti

.

---

Tehtävä 149

Laske seuraavat determinantit sopivia determinantin laskusääntöjä käyttäen:

a)  ,   b)  .

Vastaus

---

Tehtävä 150

Millä lukuja ja koskevilla ehdoilla seuraavat determinantit ovat = 0?

a)  ,   b)  .

Vastaus

---

Tehtävä 151

Olkoon

A = .

Laske det ((-5AA^T)⁷) käyttämällä determinantin laskusääntöjä.

Vastaus

---

Tehtävä 152

Matriisista tiedetään, että se ei ole symmetrinen ja että sillä on ominaisuus A^T = A eräällä skalaarilla . Mitä tämän perusteella voidaan päätellä matriisista A ja skalaarista ?

Vastaus

---

Tehtävä 153

Tutki, millä luvun arvoilla avaruuden ⁴ vektorit (, 1, 1, 1), (1, , 1, 1), (1, 1, , 1), (1, 1, 1, ) ovat lineaarisesti riippuvia. Millä luvun arvoilla vektori (1, -1, -3, 3) voidaan lausua em. vektoreiden lineaariyhdistelynä?

Vastaus

---

Tehtävä 154

Muodosta jokin pystyvektori x, jolle pätee x^Tx = 1, ja tämän avulla matriisi H = I - 2xx^T. Laske matriisin H determinantti. Kokeile erilaisia vektoreita x ja esitä hypoteesi determinantista.

---

Tehtävä 155

Eräs tietokone suorittaa keskimäärin miljardi liukulukulaskutoimitusta (yhteen-, vähennys-, kerto- tai jakolaskua) sekunnissa. Kauanko koneella kestää laskea a) 10-rivinen, b) 100-rivinen determinantti 1) suoraan permutaatioihin perustuvan määritelmän avulla, 2) Gaussin algoritmilla?

---

4.6 Käänteismatriisi

Tehtävä 156

Määritä Gaussin algoritmilla ja alideterminanttien avulla A^-1, kun

a)	A = ,	b)	A = ,
c)	A = ,	d)	A = ,
e)	A = ,	f)	A = .

Tarkista tulokset jollakin tietokoneohjelmalla.

Vastaus

---

Tehtävä 157

Laske käänteismatriisi matriisille

.

Vastaus

---

Tehtävä 158

Olkoon

A = .

Tutki, millä muuttujan x arvoilla a) matriisilla ei ole käänteismatriisia, b) sen pystyvektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

Vastaus

---

Tehtävä 159

Tutki, millä ehdolla matriisin

a) pysty-, b) vaakavektorit ovat lineaarisesti riippumattomia.

---

Tehtävä 160

Olkoon

A = ,     b = .

Ratkaise yhtälöryhmä Ax = b.

---

Tehtävä 161

Kuten edellinen tehtävä, mutta matriisin oikean alanurkan alkio onkin 9. Analysoi tilannetta muodostamalla matriisin determinantti ja määrittämällä matriisin lineaarisesti riippumattomien pystyvektoreiden lukumäärä.

---

4.7 Lineaarikuvaus

Tehtävä 162

Lineaarikuvaus F : ^{n 3} kuvaa avaruuden ⁿ vektorit x₁, x₂ ja x₃ vektoreille (0, 2, -1), (1, 2, 3) ja (1, -1, 0). Laske vektorin 3x₁ - 2x₂ + x₃ kuva.

Vastaus

---

Tehtävä 163

Voiko kuvaus F : ^{3 3} olla lineaarinen, jos

F ((0, 1, 1)) = (1, 0, 0),   F ((1, 0, 1)) = (1, 1, 0),   F ((1, -1, 0)) = (1, 1, 1)?

Vastaus

---

Tehtävä 164

Lineaarikuvauksella F : ^{2 2} on ominaisuudet F ((1, 1)) = (3, -1) ja F ((2, -1)) = (1, 2). Laske kuvauksen matriisi (luonnolllisten kantojen suhteen) ja määritä tämän avulla vektorin (1, -1) kuva.

Vastaus

---

Tehtävä 165

Olkoot F ja G lineaarikuvauksia. Todista, että yhdistetty kuvaus F oG on myös lineaarikuvaus.

---

Tehtävä 166

Todista, että lineaarikuvaus F on injektio, jos ja vain jos F (x) = o x = o.

---

Tehtävä 167

Olkoon F lineaarikuvaus ja vektorit a₁, . . . , a_m lineaarisesti riippuvia. Todista, että myös vektorit F (a₁), . . . , F (a_m) ovat lineaarisesti riippuvia.

---

Tehtävä 168

Olkoon F injektiivinen lineaarikuvaus ja vektorit a₁, . . . , a_m lineaarisesti riippumattomia. Todista, että tällöin myös vektorit F (a₁), . . . , F (a_m) ovat lineaarisesti riippumattomia. Päteekö tulos, jos F ei ole injektio?

---