5 Geometriset avaruudet

5.1 Pisteavaruus, vektoriavaruus ja koordinaattiavaruus

Tehtävä 169

Olkoon {b₁, b₂} tason E² kanta ja olkoon u = 2b₁ + 3b₂, v = -3b₁ + 2b₂, w = -b₁ - 2b₂. Määritä vektoreiden 2u - v + w ja u + v - w koordinaattivektorit. Piirrä kuvio vektoreista tapauksessa a) b₁ = i, b₂ = j, b) b₁ = i, b₂ = i - j.

Vastaus

Tehtävä 170

Määritä

siten, että vektori a

^T on vektorin b

^T suuntainen. Ovatko vektorit saman- vai vastakkaissuuntaiset?

Vastaus

Tehtävä 171

Osoita, että kolmiulotteisen avaruuden E³ vektorit b₁ = 2i + 7j + 5k, b₂ = -i - 8j + 3k, b₃ = i + j - 5k muodostavat kannan ja laske vektorin 6i + 3j + 37k koordinaatit tässä kannassa.

Vastaus

Tehtävä 172

Olkoon {b₁, b₂, b₃} avaruuden E³ kanta ja olkoot

u   ( )
0 2 5 ^T, v   ( )
3 1 - 2 ^T, w   ( )
- 12 2 23 ^T

kolme tässä kannassa esitettyä vektoria. Osoita, että u, v ja w ovat saman tason suuntaisia ja lausu u vektoreiden v ja w lineaariyhdistelynä.

Vastaus

Tehtävä 173

Tutki, millä ehdolla seuraavat tason E² kannassa {b₁, b₂} annetut vektoriparit ovat lineaarisesti riippuvia:

a) ( )
a b ^T, ( )
-t b ta ^T, b) ( )
a b ^T, ( )
sa + tb ta + sb ^T.

Vastaus

Tehtävä 174

Olkoon annettuna kolme vektoria eräässä avaruuden E³ kannassa:

u (1 2 8) ^T, v (1 0 2) ^T, w (6 - 5 - 3) ^T.

Määritä vektoreiden u + 7v - 2w, -u + 5v - w 7u - v + 10w koordinaattivektorit samassa kannassa. Ovatko viimeksi mainitut vektorit lineaarisesti riippumattomia?

Tehtävä 175

Tutki seuraavien vektorisysteemien lineaarista riippuvuutta, kun kantana on b₁ = i + 3j + 5k, b₂ = 7i + 11j + 13k, b₃ = 17i + 19j + 23k:

a)	{ ^T, ^T, ^T},
b)	{ ^T, ^T, ^T},
c)	{ ^T, ^T, ^T},
d)	{ ^T, ^T, ^T, ^T}.

Vastaus

Tehtävä 176

Olkoot vektorit

lineaarisesti riippumattomia. Todista, että myös vektorit

ovat (keskenään) lineaarisesti riippumattomia.

Tehtävä 177

Kolmion ABC keskiö olkoon M. Koordinaatiston origona olkoon M ja kantavektoreina M A

. Laske kolmion kärkipisteiden ja sivujen keskipisteiden koordinaatit.

Vastaus

Tehtävä 178

Kolmiossa ABC piste O puolittaa sivun AB, piste E₁ jakaa sivun BC suhteessa 1 : 2 ja piste E₂ sivun CA suhteessa 1 : 3. Määritä kolmion kärkipisteiden koordinaatit siinä koordinaatistossa, jonka origona on piste O ja kantavektoreina OE1

Vastaus

Tehtävä 179

Annettu tetraedri määrää avaruuden koordinaatiston siten, että yksi kärki on origona ja muut määrittävät kantavektoreiden loppupisteet. Määritä särmien keskipisteiden, tahkojen keskiöiden ja tetraedrin keskiön koordinaatit.

Vastaus

Tehtävä 180

Olkoot vektorit a ja b erisuuntaisia, ts. a /||

b. Määritä vektori c siten, että a + b, b + c ja c + a muodostavat kolmion.

Vastaus

Tehtävä 181

Olkoon piste M kolmion ABC keskiö (keskijanojen leikkauspiste). Osoita, että

= o.

Tehtävä 182

Olkoot pisteet M ja N kolmioiden ABC ja DEF keskiöt. Osoita, että

= 3

Tehtävä 183

Kolmion ABC sivut BC, CA ja AB jakautuvat pisteissä A', B' ja C' suhteessa m : n. Todista, että kolmioiden ABC ja A'B'C' keskiöt yhtyvät.

Tehtävä 184

Kolmiossa ABC piste D jakaa sivun BC suhteessa p : q ja piste E sivun AB suhteessa r : s. Missä suhteessa janojen AD ja CE leikkauspiste X jakaa janan AD?

Vastaus

Tehtävä 185

Kolmion ABC kärjestä A sivulle BC piirretty jana AD puolittaa kulman BAC. Lausu vektori

vektorien u =

ja v =

avulla, kun tiedetään, että |

| = 3 ja |

| = 2.

Vastaus

Tehtävä 186

Kolmion ABC sivuja merkitään u =

, v =

. Kärjestä A piirretyn kulmanpuolittajan ja kärjestä C piirretyn keskijanan leikkauspiste olkoon K. Määritä |u|, kun tiedetään, että |v| = 1 ja

u +

Vastaus

Tehtävä 187

Suunnikkaassa ABCD kärki A yhdistetään sivun DC keskipisteeseen P ja kärki B sivun AD keskipisteeseen R. Yhdysjanat leikatkoot pisteessä X. Lausu vektori

vektoreiden u =

ja v =

avulla.

Vastaus

Tehtävä 188

Olkoot E, F , G ja H suunnikkaan ABCD sivujen AB, BC, CD ja DA keskipisteet. Piste X olkoon janojen BG ja EF leikkauspiste. Lausu vektori

vektorien u =

ja v =

avulla.

Vastaus

Tehtävä 189

Puolisuunnikkaassa ABCD, missä

ja |

| : |

| = m > 1, merkitään u =

ja v =

. Lausu näiden avulla vektorit

, missä M on puolisuunnikkaan lävistäjien leikkauspiste.

Vastaus

Tehtävä 190

Osoita vektoreita käyttäen, että tetraedrin kahden vastakkaisen särmän keskipisteiden yhdysjanoilla on yksi yhteinen piste.

Tehtävä 191

Tetraedrin keskijana on kärjen ja vastakkaisen sivutahkon keskiön yhdysjana. Piste X jakakoon tetraedrin erään keskijanan kärjestä lähdettäessä suhteessa 3 : 1. Osoita, että X yhtyy edellisessä tehtävässä mainittujen yhdysjanojen leikkauspisteeseen. Miten tetraedrin neljä keskijanaa suhtautuvat toisiinsa?

5.2 Käyräviivaisia koordinaatistoja

Tehtävä 192

Pisteen P suorakulmaiset avaruuskoordinaatit ovat (-2, 3, -1). Laske lieriö- ja pallokoordinaatit (tarkat arvot ja likiarvot).

Tehtävä 193

Laske kolmiulotteisen avaruuden (kannassa {i, j, k} annettujen) pisteiden (1, 1, 1) ja (-1, -3, -5) pallokoordinaatit (likiarvot).

Vastaus

Tehtävä 194

Origokeskisellä pallopinnalla sijaitseva käyrä toteuttaa pallokoordinaattiyhtälön

. Millainen käyrä on kysymyksessä?

Tehtävä 195

Lieriön akselina on z-akseli. Lieriöpinnalla sijaitsee käyrä, jonka yhtälö lieriökoordinaateissa on z =

. Millainen käyrä on kyseessä?

5.3 Skalaaritulo

Tehtävä 196

Vektoreille a ja b pätee |a + 3b| = 16, |a - 3b| = 2 V~ --
58

. Laske vektoreiden sisätulo a^. b.

Tehtävä 197

Vektoreiden a ja b välinen kulma on 120^o ja |a| = 3|b|. Määritä skalaari

siten, että a + b ja a -

b ovat kohtisuorassa toisiaan vastaan.

Vastaus

Tehtävä 198

Suorakulmaisessa kolmiossa ABC on suoran kulman kärjestä lähtevä korkeusjana AD. Sivujen AB ja AC pituudet ovat 5 ja 12. Laske skalaaritulot

Vastaus

Tehtävä 199

Säännöllisen tetraedrin kärjestä lähtevät särmävektorit ovat a, b ja c. Laske vektoreiden a + b + 2c ja 2a - b välisen kulman kosini.

Vastaus

Tehtävä 200

Avaruuden E³ kantavektoreista tiedetään seuraavaa: |b₁| = |b₂| = 1, |b₃ | = 2, b₁

b₂,

(b₃, b₁) =

(b₃, b₂) = 60^o. Määritä

siten, että vektoreille u = 2b₁ +

b₃ ja v = b₁ + 3b₂ on voimassa | comp(u, v)| = | comp(v, u)|.

Vastaus

Tehtävä 201

Koordinaatiston {O, b₁, b₂, b₃} kantavektorit muodostavat pareittain 60^o kulman ja niiden pituudet ovat |b₁| = 3, |b₂| = 2, |b₃| = 1. Muodosta vektoreiden määräämän tetraedrin pisteestä O lähtevän mediaanivektorin vektorikomponentti vektorille b₁ .

Vastaus

Tehtävä 202

Osoita skalaarituloa käyttäen, että kolmion korkeusjanat kulkevat saman pisteen kautta.

Tehtävä 203

Olkoon a

o vakiovektori ja olkoon r pisteen P paikkavektori. Millaisen joukon muodostavat ne pisteet P , joille pätee a) (r - a)^.a = 0, b) (r - a)^.r = 0 ? Tarkastele erikseen taso- ja avaruustapausta.

Tehtävä 204

Kolmiulotteisessa avaruudessa pisteen P ja origon yhdysjanan pituus on 5. Se muodostaa positiivisen x-akselin kanssa kulman

= 32^o ja positiivisen y-akselin kanssa kulman

= 73^o. Laske pisteen P koordinaatit.

Tehtävä 205

Olkoon a = 3i - 4j + 2k ja b = i + j - 3k. Laske kummankin vektorin skalaari- ja vektorikomponentti toisen vektorin suunnalle.

Vastaus

Tehtävä 206

Määritä vektori, joka muodostaa yhtä suuret kulmat vektoreiden k, j + k ja i + j + k kanssa.

Vastaus

5.4 Vektoritulo

Tehtävä 207

Määritä yksikkövektori, joka on kohtisuorassa vektoreita 2i + 3j - k ja i - j + 3k vastaan.

Vastaus

Tehtävä 208

Muodosta ortonormeerattu oikeakätinen avaruuden E³ kanta {b₁, b₂, b₃}, jonka vektori b₁ on vektorin i + j + k suuntainen ja vektori b₂ on vaakasuora, ts. xy-tason suuntainen. Määräytyykö kanta yksikäsitteisesti näistä ehdoista?

Tehtävä 209

Jaa vektori u = 11i - 7j - 11k kolmeen komponenttiin, joista yksi on vektorin a = 2i - 3j + k suuntainen, toinen vektorin b = i - 2j + 4k suuntainen ja kolmas kohtisuorassa vektoreita a ja b vastaan. Miten pitkä on vektorin kohtisuora projektio tasolla, joka on vektoreiden a ja b suuntainen?

Vastaus

Tehtävä 210

Osoita: a + b + c = o ===>

a × b = b × c = c × a.

Tehtävä 211

Kheopsin pyramidin alkuperäinen korkeus oli 147 m ja neliönmuotoisen pohjan sivun pituus 230 m. Sijoita pyramidi sopivasti koordinaatistoon, laske pyramidin kahden vierekkäisen sivun normaalivektorit ja näiden avulla sivujen välinen (diedri)kulma.

Tehtävä 212

Sijoita säännöllinen oktaedri sopivaan asentoon koordinaatistoon siten, että yksi kärki on origossa. Laske tästä kärjestä alkavien särmien vektoriesitykset ja näiden avulla tässä kärjessä kohtaavien sivutahkojen normaalivektorit. Laske näiden avulla sivutahkojen välinen diedrikulma.

Vastaus

Tehtävä 213

Helsingistä lennetään lyhintä tietä Tokioon. Miten pitkä on matka ja mihin ilmansuuntaan Helsingistä on lähdettävä? Maapallon säde on 6370 km ja kaupunkien maantieteelliset koordinaatit seuraavat:

	Helsinki:	60^o	N ,	25^o	E ;
	Tokio:	36^o	N ,	140^o	E .

(Muodosta aluksi paikkakuntien paikkavektorit maantieteellisten pallokoordinaattien avulla ja käytä sitten skalaari- ja vektorituloja.)

Vastaus

Tehtävä 214

Laske vektoreiden a = 2i + 3j + 4k ja b = 2i - 3j + 4k ristitulo. Laske myös vektoria a vastaava ristitulomatriisi A^× ja em. ristitulo matriisitulona A^×b.

5.5 Vektorialgebraa

Tehtävä 215

Olkoot a, b ja x avaruuden E³ vektoreita. Johda vektorikolmitulon a × (b × x) kehityskaava muodostamalla vektoreita a ja b vastaavat ristitulomatriisit A^×, B^× ja laskemalla A^×B^×. Tulkitse A^×B^×x, missä x

x, kehityskaavan oikeaksi puoleksi.

Tehtävä 216

Laske a × (b × c) sekä kahdella ristitulon muodostamisella että vektorikolmitulon kehityskaavalla, kun a = 2i + 3j - 4k, b = -3i + j + 5k, c = -2i - 2j + 3k.

Vastaus

Tehtävä 217

Laske (a × b) × c, kun a^.j = b^.j = 0, c = 2i - j + 3k ja [a, b, c] = -4.

Vastaus

Tehtävä 218

Tutki, millä ehdoilla a × (b × c) = (a × b) × c.

Vastaus

Tehtävä 219

Olkoot a, b ja c avaruuden E³ vektoreita. Todista:

[a × b, b × c, c × a] = [a, b, c]².

Tehtävä 220

Vektorit a, b, c ovat lineaarisesti riippumattomia. Sievennä lauseke

[(a × b) × (b × c)] × (c × a).

Millä ehdolla lauseke on = o?

Vastaus

Tehtävä 221

Osoita: |a × (a × b)|² = |a|⁴|b|² - |a|²(a^.b)².

Tehtävä 222

Määritä vektorin (a × (a × (a × (a × (a × (a × b)))))) pituus, kun tiedetään, että |a| = 3, |b| = 1 ja a^.b = -2.

Vastaus

Tehtävä 223

Määritä vektori r, joka toteuttaa yhtälöparin

{
r × (k × r) = k

r .j = 0 .

Vastaus

Tehtävä 224

Laske sen kolmion ala, jonka kahtena sivuna ovat vektorit i + 5j - 2k ja 3i - 2j - k.

Vastaus

Tehtävä 225

Tetraedrin kärjet ovat (-1, -2, 4), (5, -1, 0), (2, -3, 6), (1, -1, 1). Laske tetraedrin tilavuus.

Vastaus

Tehtävä 226

Tutki, muodostavatko a) tason E² vektorit {2i - j, -i - j}, b) avaruuden E³ vektorit {i - j + k, 3i + 2j + k, i + j - 5k} kannan. Onko (myönteisessä tapauksessa) kanta positiivisesti vai negatiivisesti suunnistettu?

Tehtävä 227

Tason E² koordinaatistossa {O, b₁, b₂} on annettuna pisteet A

^T, B

^T. Osoita, että kolmion OAB pinta-ala on

1-
2 |b₁||b₂|| sin (b₁, b₂)| | ( ) |
||det q1 j1 ||
| q2 j2 | .

Tehtävä 228

Avaruuden E³ kolmen pisteen paikkavektorit ovat a, b ja c. Esitä menettely, jolla voidaan määrittää pisteiden kautta kulkevan ympyrän keskipisteen paikkavektori.

Tehtävä 229

Kolmiulotteisen avaruuden ympyrä kulkee pisteiden (1, 2, 3), (2, -5, 3) ja (-1, 3, -6) kautta. Määritä ympyrän keskipiste, säde ja ympyrän tason normaalin suunta.

5.6 Koordinaatiston vaihto

Tehtävä 230

Tason E² kahden kannan välillä vallitsee yhteys

{ b' = b + 9b
1' 1 2
b 2 = 6b1 + 8b2 .

Muodosta koordinaatistonmuunnoskaavat pilkutettujen koordinaattien suhteen ratkaistuina.

Vastaus

Tehtävä 231

Tasossa E² siirrytään vanhasta koordinaatistosta {O, i, j} uuteen koordinaatistoon {O', b₁, b₂}, missä O'

2i + j, b₁ = i + j, b₂ = j. Esitä koordinaatistonmuunnos sekä uusien että vanhojen koordinaattien suhteen ratkaistuna.

Tehtävä 232

Avaruuden E³ vanha kanta muodostuu vektoreista

b₁ = i + j + k, b₂ = i + 2j + 3k, b₃ = i + 4j + 9k

ja uusi kanta vektoreista

b'₁ = i + 2j, b'₂ = 3j + 4k, b'₃ = 6i + 5k.

Origojen paikkavektorit ovat b₀ = i + j ja b'₀ = 2j + k. Muodosta yhtälöryhmät, joista kannanvaihtomatriisi ja origonsiirtovektori voidaan ratkaista.

Tehtävä 233

Muodosta edellisen tehtävän kannanvaihtokaavat ja muunna vanhan kannan koordinaatit ( )
1 2 3

^T uuteen kantaan ja takaisin.

Tehtävä 234

Avaruuden E³ kahden kannan välillä vallitsee yhteys

{ b' = 2b1 + 2b2 + 7b3
1'
b 2' = b2 + 9b3
b 3 = 6b1 + 8b2 .

Määritä luvut ja siten, että vektorin b'₁ + b'₂ + b'₃ koordinaatit kannassa {b₁ , b₂ , b₃ } ovat keskenään yhtä suuret.

Vastaus

Tehtävä 235

Avaruuteen sijoitetaan suuntaissärmiö, jonka yhtenä kärkenä on piste P

(1, 2, 3) ja jonka tästä kärjestä lähtevät särmät ovat

b₁ = i + j + k, b₂ = i + 2j + 3k, b₃ = i + 4j + 9k.

Laske särmiön sivutahkojen keskipisteiden koordinaatit särmäkoordinaatistossa {P, b₁ , b₂ , b₃ }. Muodosta koordinaatistomuunnos, jolla nämä koordinaatit saadaan lasketuiksi {O, i, j, k} -koordinaatistossa ja laske koordinaatit.

Tehtävä 236

Tason koordinaatistossa {O, b₁, b₂} on koordinaatiston {O', b'₁, b'₂}

'₁-akselin yhtälö 2

₁ +

₂ = 2 ja

'₂-akselin yhtälö

₁ -

₂ + 3 = 0. Eräällä pisteellä on koordinaatit

₁ = 1,

₂ = 2 ja

'₁ = -2,

'₂ = 2. Millä pisteellä on samat koordinaatit (

₁ =

'₁,

₂ =

'₂) kummassakin koordinaatistossa?

Vastaus

Tehtävä 237

Tason kahden koordinaatiston väliset muunnoskaavat ovat

{
q' = aq1 + 2q2 - 1
q1' = - q + bq + 2
2 1 2 .

Yhtälöt ₁ + 3₂ + 1 = 0 ja 2'₁ - '₂ + 5 = 0 esittävät samaa suoraa. Määritä ja .

Vastaus

Tehtävä 238

Kolmiossa ABC piste D puolittaa sivun BC, piste E sivun AC ja piste M on kolmion keskiö. Tarkastellaan koordinaatistoja {A,

} ja {B,

}. Erään suoran yhtälö edellisessä koordinaatistossa on 2

₁ - 2

₂ = 1. Määritä sen yhtälö jälkimmäisessä koordinaatistossa. Piirrä kuvio.

Vastaus

Tehtävä 239

Suunnikas ABCD (

), jonka keskipiste on M, määrää kaksi tason koordinaatistoa: {A,

} ja {B,

}. Muodosta koordinaatistonmuunnoskaavat. Minkä pisteen koordinaatit säilyvät muuttumattomina siirryttäessä koordinaatistosta toiseen? Piirrä kuvio.

Vastaus

Tehtävä 240

Osoita, että vektorit b₁ = i - 2k, b₂ = 2i - j + 3k, b'₁ = i + j - 9k ja b'₂ = 5i - 2j + 4k ovat saman tason suuntaiset. Osoita, että sekä {O, b₁, b₂, b₁ × b₂} että {O, b'₁, b'₂, b'₁ × b'₂} voidaan valita avaruuden E³ koordinaatistoiksi; tässä on O

o on koordinaatistojen yhteinen origo. Määritä koordinaattimuunnoskaavojen matriisi T .

Vastaus

Tehtävä 241

Tason E² koordinaatisto {O, i, j} on siirretty ja kierretty uuteen asentoon {O' , i' , j' }; x’-akselin yhtälö pilkuttomissa koordinaateissa on x + 3y - 6 = 0, y’-akselin vastaavasti 3x - y - 4 = 0. Esitä koordinaattimuunnoskaavat kumpaankin suuntaan, kun lisäksi tiedetään, että i'- ja j-vektoreiden välinen kulma on terävä.

Vastaus

Tehtävä 242

Koordinaatistoista {O, i, j, k} ja {O, i', j', k'} tiedetään seuraavaa: 1) Molemmat ovat ortonormeerattuja ja oikeakätisiä. 2) i' ja i + 2j + 2k ovat samansuuntaiset. 3) k' on xy-tason suuntainen siten, että kulma

(k', i) on terävä. Lausu koordinaatistonmuunnoskaava pilkuttomien koordinaattien suhteen ratkaistuna.

Vastaus

Tehtävä 243

Totea, että matriisi

T = 1--
15 ( )
10 - 5 10
- 11 - 2 10

- 2 - 14 - 5

on ortogonaalinen. Määritä pisteet, joiden koordinaatit säilyvät ennallaan koordinaatistomuunnoksessa x' = T x.

Vastaus

5.7 Avaruuden ⁿ geometriaa

Tehtävä 244

Osoita, että avaruuden

ⁿ vektorit

b₁ = ( )
1
1
1
..
.
1
1 , b₂ = ( )
0
1
1
..
.
1
1 , b₃ = ( )
0
0
1
..
.
1
1 , . . . , b_n = ( )
0
0
0
..
.
0
1

muodostavat avaruuden kannan.

Tehtävä 245

Olkoon x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_n

. Osoita:

( )
sum n
xkyk
k=1 ² < ( )
sum n
x2k
k=1 ( )
sum n
y2k
k=1 .

Tehtävä 246

Todista: ||x + y|| = ||x|| + ||y||, jos ja vain jos y = o tai x =

y, missä

> 0.

Tehtävä 247

Todista Pythagoraan lause avaruudessa

ⁿ: Jos x

y, niin ||x - y||² = ||x||² + ||y||².

Tehtävä 248

Todista suunnikaslause avaruudessa

ⁿ: ||x - y||² + ||x + y||² = 2||x||² + 2||y||². Miksi lausetta sanotaan suunnikaslauseeksi?

Tehtävä 249

Todista: ||x|| = ||y|| <==

x + y

x - y.

Tehtävä 250

Laske avaruuden

⁴ vektoreiden x = ( )
3 -2 0 - 1

^T ja y =

^T välisen kulman kosini. Mikä on kulman suuruus?

Vastaus

Tehtävä 251

Laske avaruuden

⁵ pisteiden P

^T ja Q

^T välinen etäisyys.

Vastaus

Tehtävä 252

Valitse jokin avaruuden

⁵ yksikkövektori x ja muodosta tämän avulla matriisi H = I - 2xx^T. Tutki, ovatko matriisin H pystyvektorit ortonormeeratut. Laske vektorin x ja matriisin H pystyvektoreiden välisten kulmien kosinit ja itse kulmat.

Tehtävä 253

Vektorit V b₁ = i + 2j + 3k, b₂ = i + 2j, b₃ = i muodostavat avaruuden E³ kannan. Avaruus E³ varustetaan sisätulolla siten, että tämä kanta on ortonormeerattu, ts. sisätulolla on lauseke (u | v) =

₁

₁ +

₂

₂ +

₃

₃, missä luvut

₁,

₂,

₃ ja

₁,

₂,

₃ ovat vektoreiden u ja v koordinaatit em. kannassa. Esitä sisätulon lauseke kantaan {i, j, k} liittyvien koordinaattien avulla. Totea, että lauseke voidaan kirjoittaa muotoon x^TA^TAy, missä A on sopiva matriisi. Laske vektoreiden j ja k täten määritelty sisätulo.

Tehtävä 254

Olkoon F :

ⁿ

ⁿ lineaarikuvaus. Osoita:

(F (x) | F (y)) = 1-
2 (||F (x + y)||2- ||F (x)||2- ||F(y)||2) .

Päättele tämän avulla, että jos lineaarikuvaus säilyttää vektorien pituuudet (ts. ||F (x)|| = ||x|| x), niin se säilyttää myös vektorien väliset kulmat (ts. (F (x), F (y)) = (x, y) x, y).