Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

7 Matriisin ominaisarvot

7.1 Ominaisarvon ja ominaisvektorin käsite; laskeminen

Tehtävä 323
Olkoon c matriisin A ominaisarvo ja olkoon x/=o vastaava ominaisvektori. Osoita, että matriisilla Ap on ominaisarvona cp ja vastaava ominaisvektori on x (p (- N).

Vastaus

Tehtävä 324
Neliömatriisi A olkoon säännöllinen (ts. käänteismatriisi A-1 on olemassa) ja c/= 0 olkoon sen ominaisarvo, x/=o vastaava ominaisvektori. Todista: käänteismatriisilla on ominaisarvo 1/c ja vastaava ominaisvektori on x.

Tehtävä 325
Osoita muodostamatta polynomiyhtälöä ominaisarvoille, että matriisin

A = ( ) 5 2 2 8

ominaisvektorit ovat x1 = ( ) 1 2 T ja x2 = ( ) - 2 1 T. Mitkä ovat vastaavat ominaisarvot?

Tehtävä 326
Osoita oikeaksi tai vääräksi: Jos c1 ja c2 ovat matriisin A ominaisarvoja (c1 /= c2 ), niin c1 + c2 on matriisin A ominaisarvo.

Tehtävä 327
Matriisilla

( 1 1 0 ) 0 2 0 - 2 5 -1

on ominaisvektoreina ( ) 1 1 1 T, ( ) 1 0 - 1 T ja ( ) 0 0 1 T. Olkoon x = ( ) 2 1 1 T. Laske A11 x.

Tehtävä 328
Laske matriisin

A = ( ) 1 - 2 -2 1

ominaisarvot ja -vektorit. Voidaanko ominaisvektorit valita ortonormeeratuiksi?

Vastaus

Tehtävä 329
Laske matriisin

A = ( ) 3 1 1 1 3 1 1 1 3

ominaisarvot ja -vektorit.

Tehtävä 330
Tutki matriisin

( ) 4 a - 1 6

ominaisarvoja ja -vektoreita parametrin a eri arvoilla. Mitä voidaan sanoa niiden reaalisuudesta ja kompleksisuudesta? Montako lineaarisesti riippumatonta ominaisvektoria voidaan löytää?

Tehtävä 331
Määritä matriisin

( ) 1 t t2 t 1 t 2 t t 1

ominaisarvot parametrin t funktioina ja piirrä näiden kuvaajat.

Tehtävä 332
Määritä matriisin

( ) 1 1 0 1 + t

ominaisvektoreiden välinen kulma parametrin t funktiona. Mitä tämä kertoo ominaisvektoreiden lineaarisesta riippumattomuudesta?

Tehtävä 333
Olkoon c matriisin

A = (a 1 1 b) 4 a b 2 4 b a 2 b 3 3 a

ominaisarvo. Millä lukuja a, b, c koskevalla ehdolla matriisilla on ominaisvektorina
() 01-10 T ?

7.2 Diagonalisointi; symmetriset matriisit

Tehtävä 334
Määritä matriisin

( ) 1 1 0 0 2 0 - 2 5 -1

ominaisarvot ja -vektorit. Onko matriisi diagonalisoituva? Ilmoita myönteisessä tapauksessa vastaava diagonaalimatriisi ja similariteettimuunnosmatriisi.

Tehtävä 335
Määritä seuraavan matriisin ominaisarvot ja -vektorit sekä tutki sen diagonalisoituvuutta:

( 2 0 0 0 ) 0 - 1 0 2 0 0 2 0 0 - 2 0 3 .

Tehtävä 336
Laske matriisien

a) ( ) 0 - 1 -1 - 1 0 1 - 1 1 0 ,   b) ( ) 4 2 2 2 1 1 2 1 1 ,   c) ( ) 1 2 0 2 1 1 0 1 1

ominaisarvot ja ominaisvektorit. Muodosta ominaisvektoreista ortonormeerattu kanta.

Vastaus

Tehtävä 337
Laske matriisien

a) A = ( ) 5 2 2 8 ,   b) A = ( ) 3 1 1 1 3 1 1 1 3

ominaisarvot ja ominaisvektorit. Muodosta ortogonaalinen similaritettimuunnosmatriisi T (so. matriisi, jolle pätee T -1 = T T). Kirjoita vastaava lävistäjämatriisi /\ ja totea, että T -1 AT = /\.

Tehtävä 338
Tutki similariteettimuunnosta seuraavien matriisien tapauksessa:

a) ( ) 1 1 0 1 ,   b) ( 2 0 0 0 ) 0 - 1 0 2 0 0 2 0 0 - 2 0 3 ,   c) ( 1 2 3 4 ) 2 5 6 7 3 6 8 9 4 7 9 10 .

Ovatko matriisit diagonalisoituvia? Totea myönteisessä tapauksessa yhtälön T -1AT = /\ voimassaolo numeerisella laskulla.

7.3 Neliömuodot

Tehtävä 339
Kirjoita neliömuodon

a) Q(x, y) = 16x2+9y2+24xy,   b) Q(x, y) = xy,   c) Q(x, y, z) = x2+y2+z2+xy+yz+zx

esitysmatriisi, hae sen ominaisarvot ja luokittele neliömuoto.

Vastaus

Tehtävä 340
Muodosta neliömuodon Q(x, y, z) = x2 + y2 + z2 + 2xy + 2yz + 2zx esitysmatriisi. Määritä tämän ominaisarvot ja ortonormeeratut ominaisvektorit. Millaisten lävistäjämatriisen kanssa esitysmatriisi on similaarinen? Luokittele neliömuoto.

Tehtävä 341
Luokittele seuraavat neliömuodot:

a)  Q(x, y, z) = (x + y)2 + (y + z)2 + (z + x)2,
b)  Q(x, y, z) = (x + 3y - z)2 + (x - y - z)2 + (x + y - z)2.

Tehtävä 342
Tutki, missä xy-tason pisteissä seuraavat neliömuodot saavat arvon 0:

a)  Q(x, y) = 2x2 + 3y2 + 2xy,
b)  Q(x, y) = x2 + 4y2 + 4xy,
c)  Q(x, y) = 3x2 + y2 + 4xy.

Tehtävä 343
Etsi jokin origon kautta kulkeva suora, jolla neliömuoto Q(x, y, z) = xy + yz + zx saa arvon 0. Onko tällaisia suoria useampia? Minkä tyyppinen neliömuoto on kyseessä?

Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo