1 Topologiaa
1.1 Ympäristö
1.2 Topologisia peruskäsitteitä
Tehtävä 1
Määritä seuraavien reaalilukujoukkojen kasautumispisteet:
a) 
, b) 
.
Tehtävä 2
Reaalilukujoukoilla S ja T olkoon seuraava ominaisuus:
x 
S 
y T 
|x - y| > c,
missä c on positiivinen vakio. Todista, että joukoilla S ja T ei ole yhtään yhteistä kasautumispistettä.
Tehtävä 3
Olkoon S reaalilukujoukko ja sup S = G. Todista, että jos G
S, niin G on
joukon S kasautumispiste.
Tehtävä 4
Tutki, ovatko seuraavat joukot Sk avoimia tai suljettuja (tai ei kumpiakaan). Määritä joukkojen sisäpisteet, reunapisteet ja kasautumispisteet.S1 = ] - 1, 0[  ]0, 1]   , | S2 = { | n  } {0} , | ||||||
S3 =  (S2 ) , | S4 = {(x, y) | x [a, b], y [c, d]} 2, | ||||||
S5 = {(x, y) | |x| + |y| = 1}  {(x, y) | y  } 2, | S6 = {(x, y) | x + y } 2, | ||||||
| S7 = {(x, y, z) | xyz > 0} 3. |
Tehtävä 5
Todista, että joukko S on avoin, jos ja vain jos se on muotoa U
(x) olevien
ympäristöjen unioni.
Tehtävä 6
Todista, että avoimien joukkojen unioni on avoin.Tehtävä 7
Anna esimerkki, joka osoittaa, että suljettujen joukkojen unioni ei välttämättä ole suljettu.Tehtävä 8
Jos joukkoon S liitetään sen kasautumispisteet, saadaan joukon S sulkeuma
.
Osoita: 
= S 
S.
Tehtävä 9
Jos joukkoon S liitetään sen kasautumispisteet, saadaan joukon S sulkeuma
.
Osoita: a) S T 
, b) 
= 
.
Tehtävä 10
Todista, että joukon reuna on suljettu joukko.Tehtävä 11
Todista, että suljetun joukon reuna kuuluu itse joukkoon, ts. jos S on suljettu joukko, niinS S.
Tehtävä 12
Jos joukkoon S liitetään sen kasautumispisteet, saadaan joukon S sulkeuma
. Todista: 
S. Anna esimerkki, jossa 
on reunan S aito osajoukko.
Tehtävä 13
Todista, että joukon kasautumispisteiden muodostama joukko on suljettu.Tehtävä 14
Olkoon S tason2 joukko. Osoita, että joukko {
| (x, y) S}
on rajoitettu, jos ja vain jos joukot {x | 
y siten, että (x, y) S} ja
{y | x siten, että (x, y) S} ovat rajoitettuja. Onko joukko S 2 tällöin itse
rajoitettu?