2 Lukujonot

2.1 Lukujonon määritelmä

Tehtävä 16

Fibonacci’n luvut määritellään ehdoilla

a₁ = a₂ = 1;     a_n+2 = a_n+1 + a_n,   n .

Osoita:

a_n = .

---

Tehtävä 17

Olkoon a₁ = 3, a₂ = 6, a_n+1 = (na_n + a_n-1 + 3) arvoilla n > 2. Todista, että a_n < 4n kaikilla n .

Vastaus

---

Tehtävä 18

Määritä inf{ - n/2 | n }.

Vastaus

---

2.2 Lukujonon suppeneminen

Tehtävä 19

Määritä lukujonon

a_n =

raja-arvo, kun n , ja todista tulos suoraan määritelmän perusteella (ts. epsilontekniikkaa käyttäen).

---

Tehtävä 20

Todista raja-arvon määritelmään perustuen, että suppeneva lukujono on rajoitettu, ts. jos lim a_n = a, niin on olemassa luku M > 0 siten, että |a_n| < M kaikilla indekseillä n.

---

Tehtävä 21

Todista raja-arvon määritelmään perustuen seuraava lause: Jos lukujonolle pätee lim a_n = a ja lim a_n = b, niin a = b.

---

Tehtävä 22

Todista yksityiskohtaisesti lukujonojen raja-arvoja koskeva lause: Jos lim_n a_n = a ja lim_nb_n = b, niin lim_n(a_n + b_n) = a + b. Päteekö kääntäen

lim_n(a_n + b_n) = a + b lim_na_n = a,  lim_nb_n = b ?

---

Tehtävä 23

Todista: Jos lukujonolle pätee a_n > 0 kaikilla indekseillä n ja lima_n = 0, niin on olemassa max{ a_n | n }. Onko em. oletuksilla välttämättä olemassa myös min { a_n | n }?

---

Tehtävä 24

Olkoon rajoitettu lukujono. Todista:

lim_n = 2.

---

Tehtävä 25

Olkoon

lim_n = b0.

Osoita täsmällisesti, että lukujono suppenee ja määritä sen raja-arvo.

Vastaus

---

Tehtävä 26

Määritä raja-arvot

	a)  limn ,		b)  limn,
	c)  limn,		d)  limn .

Vastaus

---

Tehtävä 27

Määritä raja-arvo lim_nf_n(x) = f(x) kaikilla arvoilla x , kun

f_n(x) = .

Piirrä funktioiden f_n kuvaajia indeksin n eri arvoilla. Piirrä myös funktion f kuvaaja.

---

Tehtävä 28

Määritä raja-arvo lim_nf_n(x) = f(x) kaikilla arvoilla x , kun

f_n(x) = .

Piirrä funktioiden f_n kuvaajia indeksin n eri arvoilla. Piirrä myös funktion f kuvaaja.

---

Tehtävä 29

Osoita, että lukujono ,

b_n = ⁿ,

on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Käytä Bernoulli’n epäyhtälöä. Mikä on jonon raja-arvo?

---

Tehtävä 30

Olkoon lim a_n = a. Osoita:

lim = a.

---

Tehtävä 31

Olkoot ja kaksi lukujonoa, joille pätee lim(a_neⁿ) = e ja lim(b_n n^-10 ) = . Määritä lim(a_nb_n), mikäli se on olemassa.

Vastaus

---

Tehtävä 32

Lukujono määritellään asettamalla

a₁ = 1;   a_n+1 = ,  n = 1, 2, 3, . . . .

Osoita induktiolla, että jono on ylhäältä rajoitettu ja kasvava. Päättele tästä, että jonon raja-arvo on olemassa ja laske se.

---

Tehtävä 33

Lukujono määritellään rekursiivisesti ehdoilla a₁ = 0, a_n+1 = a_n + 1. Osoita, että jono on kasvava ja ylhäältä rajoitettu. Määritä sen raja-arvo.

Vastaus

---

Tehtävä 34

Lukujono määritellään rekursiivisesti ehdoilla

a₁ = 1,     a_n+1 = .

Osoita, että jono on vähenevä ja alhaalta rajoitettu. Määritä sen raja-arvo.

Vastaus

---

Tehtävä 35

Lukujono määritellään rekursiivisesti ehdoilla

a₁ = 0,     a_n+1 = + 5.

Osoita täsmällisesti, että jono suppenee ja määritä sen raja-arvo.

---

Tehtävä 36

Osoita seuraavat jonot monotonisiksi ja rajoitetuiksi sekä määritä niiden raja-arvot:

a) a₁ = ,  a_n+1 = ,     b) a₁ = ,  a_n+1 = .

Vastaus

---

Tehtävä 37

Olkoon a₁  ]0, /2[ ja a_n+1 = sin a_n (n > 1). Osoita jono väheneväksi ja alhaalta rajoitetuksi sekä määritä sen raja-arvo.

Vastaus

---

Tehtävä 38

Tutki numeerisesti raja-arvoa

lim_n(1 + 1/n)ⁿ

sijoittamalla luvulle n yhä suurempia arvoja.

---

Tehtävä 39

Tutki numeerisesti raja-arvoja

a) lim_n ⁿ,     b)  lim_n ⁿ,     c)  lim_n .

Mitkä ovat raja-arvojen tarkat arvot? Miten tulokset voi perustella?

---

2.3 Cauchyn suppenemiskriteeri

Tehtävä 40

Tutki seuraavien lukujonojen käyttäytymistä:

a) a_n = cos + (-1)ⁿ,     b) a_n = sin + .

Onko jonoilla raja-arvoa? Entä kasautumispisteitä? Mitä mahdettaisiin tarkoittaa käsitteillä yläraja-arvo ja alaraja-arvo (limes superior ja limes inferior)?

---

Tehtävä 41

Osoita, että lukujono a_n = 1/n (n ) toteuttaa Cauchyn suppenemisehdon, ts. määritä annettua lukua > 0 vastaava indeksiraja N.

---

Tehtävä 42

Lukujonolla olkoon ominaisuudet

1) ij a_ia_j,     2)  lim a_n = a .

Todista, että a on lukujoukon {a_n | n } kasautumispiste. Voiko joukolla olla muita kasautumispisteitä? Jos ominaisuudesta 1) luovutaan, pitääkö väite paikkansa?

---

2.4 Reaalilukujen konstruoinnista