13 Taylorin polynomi; funktioiden approksimoinnista

13.1 Taylorin polynomi

Tehtävä 552

Muodosta funktion f(x) = x⁴ + 3x³ + x² + 2x + 8 kaikki Taylorin polynomit T_k (x, -2), k = 0, 1, 2, . . . (jolloin siis potenssien kantalukuna on x + 2). Kehitä ne myös siten, että kantalukuna on x. Piirrä polynomien kuvaajat ja vertaa niitä funktion kuvaajaan.

---

Tehtävä 553

Etsi toisen asteen Taylorin polynomi ja vastaava jäännöstermi integraali- ja Lagrangen muodossa, kun funktiona on f ja kehityskeskuksena a:

a) f(x) = e^x,   a = -1,     b) f(x) = sin x,   a = .

Vastaus

---

Tehtävä 554

Muodosta funktion sin x astetta 10 oleva Taylorin polynomi a) pisteessä x = 0, b) pisteessä x = .

---

Tehtävä 555

Laske funktion f(x) = Taylorin polynomi T₃(x, 2) ja piirrä funktion, Taylorin polynomin sekä vastaavan jäännöstermin kuvaajat.

Vastaus

---

Tehtävä 556

Muodosta viidennen asteen Taylorin polynomi kehityskeskuksena origo funktiolle

f(x) = .

---

Tehtävä 557

Olkoon f astetta 4 oleva polynomi, f(2) = -1, f'(2) = 0, f''(2) = 2, f''' (2) = -12, f⁽⁴⁾(2) = 24. Laske f(-1), f'(0) ja f''(1) mahdollisimman yksinkertaisesti.

Vastaus

---

Tehtävä 558

Osoita, että parillisen (vastaavasti parittoman) funktion Maclaurinin polynomi sisältää vain muuttujan parillisia (parittomia) potensseja.

Vastaus

---

Tehtävä 559

Todista, että ln(1 - 2x) < T₃(x, 0), kun T₃ tarkoittaa funktion ln(1 - 2x) Taylorin polynomia ja tarkastellaan arvoja x < , x0.

Vastaus

---

Tehtävä 560

Todista:

1 - x² + x⁴ > cos x > 1 - x²,   kun x [-, ].

Pitääkö epäyhtälöketju paikkansa välin ulkopuolella?

Vastaus

---

Tehtävä 561

Muodosta geometrisen summan kaavaa käyttäen funktiolle f(x) = (1 + x²)^-1 Maclaurinin polynomi T_n(x, 0) indeksin n funktiona. Laske tämän avulla f⁽ⁿ⁾(0).

Vastaus

---

Tehtävä 562

Muodosta funktion ln(1 + x) Maclaurinin polynomi T_n(x, 0) tarkastelemalla ensin funktion derivaattaa ja käyttämällä geometrisen summan kaavaa.

Vastaus

---

Tehtävä 563

Olkoon f(x) = x³ ln(2 + x²). Määritä f⁽⁸⁷⁾(0).

Vastaus

---

Tehtävä 564

Olkoon funktion f toinen derivaatta f'' jatkuva välillä [a, a + h], jolloin

f(a + h) = f(a) + f'(a)h + f''(a + h)h²,

missä [0, 1]. Osoita, että , kun h 0, jos lisäksi f''' jatkuva ja f'''(a)0.

---

13.2 Taylorin polynomin sovellutuksia

Tehtävä 565

Millä tarkkuudella Taylorin polynomi T₂(x, 0) antaa funktion f(x) arvot välillä [-, ], kun f(x) on

a) ,     b)  cos x,     c)  tan x,     d) e^{sin x}.

Vastaus

---

Tehtävä 566

Muodosta funktion f(x) = Maclaurinin polynomi T₃(x, 0) ja arvioi erotuksen f(x) - T₃(x, 0) itseisarvoa. Mikä on tämän yläraja, kun |x| < 4?

Vastaus

---

Tehtävä 567

Tutki, millä tarkkuudella funktion sin x arvot voidaan laskea Maclaurinin polynomin T₅ (x, 0) avulla a) välillä [-1, 1], b) välillä [-, ].

---

Tehtävä 568

Tutki, millä tarkkuudella Maclaurinin polynomi x - x³ antaa sinifunktion arvot kulmille, jotka ovat välillä [0^o, 10^o].

Vastaus

---

Tehtävä 569

Montako termiä funktion Maclaurinin polynomiin on otettava, jotta välillä [, 2] olevien lukujen neliöjuuret saataisiin lasketuksi viiden desimaalin tarkkuudella?

---

Tehtävä 570

Muodosta funktiolle cos x sellainen Maclaurinin polynomi, joka approksimoi funktiota välillä [-, ] tarkkuudella 10^-4.

Vastaus

---

Tehtävä 571

Ilmoita jokin väli, jolla T₂(x, 0) approksimoi funktiota cos x tarkkuudella 10^-5 .

Vastaus

---

Tehtävä 572

Millä tarkkuudella on

,

kun |x| < 0.15?

Vastaus

---

Tehtävä 573

Laske likiarvo luvulle 1/ approksimaatiokaavasta

e^x 1 + x + .

Arvioi virheen suuruutta ja merkkiä.

Vastaus

---

Tehtävä 574

Laske sopivaa Taylorin polynomia sekä neljää peruslaskutoimitusta käyttäen likiarvot seuraaville luvuille: a) 1/e tarkkuudella 10^-4;   b) sin 1^o tarkkuudella 10^-5;   c) cos 10^o tarkkuudella 10^-3.

Vastaus

---

Tehtävä 575

Määritä funktion sinh x - sin x ääriarvot.

Vastaus

---

Tehtävä 576

Tutki, onko funktiolla

f(x) = - 1 +

ääriarvoa kohdassa x = 0.

Vastaus

---

Tehtävä 577

Todista, että arvoilla x0 pätee cos x - cosh x + x² < 0.

---

Tehtävä 578

Määritä raja-arvo

lim_x0

muodostamalla vastaava Maclaurinin polynomi.

---

Tehtävä 579

Käyrillä y = f(x) ja y = g(x) sanotaan olevan pisteessä x (vähintään) kertalukua n oleva kosketus, jos funktioiden arvot ja niiden derivaattojen arvot kertalukuun n saakka yhtyvät tässä pisteessä. Määritä käyrälle + = 2 (a > 0) kaarevuusympyrä pisteessä (a, a) ja osoita, että kosketuksen kertaluku on 3 (mutta ei suurempi).

Vastaus

---

Tehtävä 580

Käyrillä y = f(x) ja y = g(x) sanotaan olevan pisteessä x (vähintään) kertalukua n oleva kosketus, jos funktioiden arvot ja niiden derivaattojen arvot kertalukuun n saakka yhtyvät tässä pisteessä. Määritä seuraavista parvista se käyrä, jolla on mahdollisimman korkean kertaluvun kosketus käyrän y = e^x kanssa kohdassa x = 0:

	a) kaikki ympyrät,
	b) paraabelit, joiden akselit ovat y-akselin suuntaiset,
	c) paraabelit, joiden akselit ovat x-akselin suuntaiset,
	d) kaikki paraabelit,
	e) kaikki toisen asteen käyrät.

Mikä on kosketuksen kertaluku?

Vastaus

---

Tehtävä 581

Käyrillä y = f(x) ja y = g(x) sanotaan olevan pisteessä x (vähintään) kertalukua n oleva kosketus, jos funktioiden arvot ja niiden derivaattojen arvot kertalukuun n saakka yhtyvät tässä pisteessä. Osoita, että niiden paraabelien polttopisteet, joilla on annetussa pisteessä toisen kertaluvun kosketus annetun käyrän kanssa, sijaitsevat ympyrällä, joka sivuaa käyrää annetussa pisteessä ja jonka säde on neljännes kyseiseen pisteeseen liittyvästä käyrän kaarevuussäteestä.

---

13.3 Polynomiapproksimaatioista

Tehtävä 582

Eksponenttifunktiota e^x approksimoidaan välillä [-1, 1] ensimmäisen asteen polynomilla ax + b. Määritä kertoimet a ja b siten, että saadaan paras tasainen approksimaatio, ts. approksimaatiovirheen maksimi on mahdollisimman pieni.

---

13.4 Lagrangen interpolaatio

Tehtävä 583

Laske funktiolle f(x) = 1 + x - x² tasaväliseen pisteistöön välillä [-1, 2] liittyvä a) ensimmäisen, b) toisen, c) kolmannen asteen interpolaatiopolynomi. Laske myös vastaavat virhetermit.

---

Tehtävä 584

Funktiota f(x) = sin x interpoloidaan välillä [0, 1] tasavälisessä pisteistössä astetta n olevalla polynomilla. Arvioi virhetermiä ja tutki, miten tämä käyttäytyy, kun n kasvaa.

---

13.5 Numeerisesta integroinnista

Tehtävä 585

Tarkastele luvun ln 2 laskemista integraalin dx/x avulla: Laske integraali numeerisesti a) Riemannin summana laskemalla funktion arvot osavälien alkupisteissä, b) Riemannin summana laskemalla funktion arvot osavälien keskipisteissä, c) puolisuunikassäännöllä, d) Simpsonin säännöllä. Jaa integroimisväli neljään, kahdeksaan ja kuuteentoista osaväliin. Vertaa tuloksia.

---

Tehtävä 586

Laske edellisen tehtävän numeerisen integroinnin virhetermit puolisuunnikassäännön ja Simpsonin säännön tapauksessa ja vertaa niitä todelliseen virheeseen.

---

Tehtävä 587

Muodosta integraali, joka esittää ellipsin 4x² + 9y² = 36 kaarenpituutta. Laske tämä numeerisesti. (Integrointi alkeisfunktioiden avulla ei onnistu.)

---

Tehtävä 588

Muodosta integraali, joka esittää ellipsin kehän pituutta eksentrisyyden funktiona, kun ison akselin puolikas on vakio a = 1. Piirrä kuvaaja, joka osoittaa, miten kehän pituus riippuu eksentrisyydestä. Mitkä ovat funktion tarkat arvot tarkasteluvälin päätepisteissä?

---

Tehtävä 589

Muunna epäoleellinen integraali (jota ei voida integroida alkeisfunktioiden avulla)

e^-x2 dx

sijoituksella t = x/(1 + x) rajoitetun välin yli otetuksi integraaliksi ja laske se numeerisesti jollakin tietokoneohjelmalla. Sijoituksen jälkeinen integraali on myös epäoleellinen, mutta tästä aiheutuvat ongelmat voidaan väistää poistamalla integroimisvälistä (todella) pieni osa singulariteetin ympäriltä. Vertaa tulosta tarkkaan arvoon /2.

---