12 Lisää määrätystä integraalista
12.1 Integraalin arvioimisesta
Tehtävä 521
Osoita:
1 < ![integral 1
0](kuvat/ra1356x.gif)
dx <
.
Tehtävä 522
Osoita:
0 < ![integral 100
50](kuvat/ra1359x.gif)
dx < 15 . 10-5.
Tehtävä 523
Osoita:
<
ex2-x dx < 2e2.
Tehtävä 524
Olkoon
k > 0. Osoita:
![integral k
0](kuvat/ra1363x.gif)
dx > k.
Tehtävä 525
Olkoon
a > e. Osoita:
![integral a
e](kuvat/ra1365x.gif)
dx > a - e.
Tehtävä 526
Osoita, että
![integral 300
100](kuvat/ra1367x.gif)
dx = ln 3 -
,
missä 10-12 <
< 10-10.
Tehtävä 527
Funktiosta
f oletetaan, että
f(0) = 1, sen derivaatta
f' on jatkuva ja
1 + x < f' (x) < ex välillä
[-1, 0]. Mitä arvoja
f(-1) voi saada?
Vastaus
Tehtävä 528
Olkoon funktio
f jatkuva välillä
[a, b] ja olkoon
f(x)h(x) dx = 0, olipa
h mikä tahansa integroituva funktio. Osoita, että
f(x) = 0 kaikilla
x
[a, b].
12.2 Määrätyn integraalin väliarvolause
Tehtävä 529
Määritä integraalilaskun väliarvolauseessa esiintyvä
![q](kuvat/cmmi12-18.gif)
, kun kyseessä on
integraali
a)
(
x +
) dx, b)
x2 dx.
Vastaus
Tehtävä 530
Määritä raja-arvo
limx
2![1
------
x - 2](kuvat/ra1380x.gif)
et2
dt.
Vastaus
Tehtävä 531
Olkoon funktio
f jatkuva ja funktio
g määritelty seuraavasti:
g(x) =
Osoita (yleistettyä) integraalilaskun väliarvolausetta käyttäen, että
limh
0+
f(x)g(x) dx = f(0).
12.3 Epäoleelliset integraalit
Tehtävä 532
Laske arvo tai osoita hajaantuminen seuraaville integraaleille:
| a) ![integral
oo
- oo](kuvat/ra1384x.gif) (p2 < 4q), | | b) ![integral
oo
0](kuvat/ra1386x.gif) , | | c) ![integral
oo
0](kuvat/ra1388x.gif) , | | | | | |
|
| d) ![integral oo
0](kuvat/ra1390x.gif) , | | e) ![integral oo
1](kuvat/ra1392x.gif) dx, | | f) ![integral oo
0](kuvat/ra1394x.gif) , | | | | | |
|
| g) e-ax cos bx dx (a > 0), | | h) e-ax sin bx dx (a > 0), | | | | | | | |
|
| i) ![integral 1
0](kuvat/ra1398x.gif) dx, | | j) ![integral 6
0](kuvat/ra1400x.gif) dx, | | k) ![integral 6
0](kuvat/ra1402x.gif) dx, | | | | | |
|
| l) ![integral
a
0](kuvat/ra1404x.gif) dx (a 0), | | m) tan x dx, | | n) ln x dx. | | | | | | |
Vastaus
Tehtävä 533
Johda palautuskaava integraalille
In =
xne-x dx, n = 0, 1, 2, . . . ,
ja laske integraali sen avulla.
Vastaus
Tehtävä 534
Määritä
a ja
b siten, että integraali
![integral oo
1](kuvat/ra1414x.gif)
dx
suppenee ja on arvoltaan = 1.
Vastaus
Tehtävä 535
Tutki, millä arvoilla
k
seuraavat integraalit suppenevat:
a) ![integral 1
0](kuvat/ra1416x.gif)
dx, b) ![integral oo
0](kuvat/ra1418x.gif)
, c)
sin kx dx.
Vastaus
Tehtävä 536
Millä arvoilla
k
integraali
![integral 1
0](kuvat/ra1421x.gif)
dx
a) ei ole epäoleellinen, b) on epäoleellinen ja suppenee?
Vastaus
Tehtävä 537
Laske seuraavan epäoleellisen integraalin arvo tai osoita sen hajaantuminen:
![integral
p
0](kuvat/ra1423x.gif)
.
Tehtävä 538
Laske
![integral p/2
0](kuvat/ra1425x.gif)
(ab
0).
Vastaus
Tehtävä 539
Sievennä funktion
f(x) = ![integral
p
0](kuvat/ra1429x.gif)
dt
lauseke ja piirrä kuvaaja.
Vastaus
Tehtävä 540
Osoita, että on olemassa vakio
M > 0 siten, että kaikilla
]0, 1[
pätee
![integral 1-e
0](kuvat/ra1431x.gif)
dx < M.
Tehtävä 541
Todista:
f suppenee
limb![-->](kuvat/cmsy8-21.gif)
![oo](kuvat/cmsy8-31.gif)
f = 0.
Tehtävä 542
Todista:
| a) |f| suppenee f suppenee, | |
|
| b) |f| suppenee f suppenee. | | |
Tehtävä 543
Olkoon funktio
f jatkuva, kun
x > 1, ja
limx![-->](kuvat/cmsy8-21.gif)
![oo](kuvat/cmsy8-31.gif)
= -2.
Osoita, että integraali
ef(x) dx suppenee.
Tehtävä 544
Arvoilla
x > 0 määritellään
gammafunktio integraalilla
(x) =
tx-1e-t dt.
Päättele, että integraali suppenee, jos x > 0. Suppeneeko integraali, jos x < 0?
Vastaus
Tehtävä 545
Piirrä gammafunktion kuvaaja jonkin tietokoneohjelman avulla. Tarkastele
erikseen positiivisia ja negatiivisia muuttujan arvoja. Tiedätkö, miten gammafunktio on
määritelty negatiivisilla muuttujan arvoilla?
Tehtävä 546
Laske käyrän
y = xe-x2/2 ja sen asymptootin väliin jäävän rajoittamattoman
tasokuvion ala.
Vastaus
Tehtävä 547
xz-tason käyrä
z = exp(-x2) pyörähtää z-akselin ympäri, jolloin syntyy
xy-tason yläpuolella sijaitseva (ääreetömyyteen joka suunnassa ulottuva) pinta. Laske
tämän pinnan ja xy-tason väliin jäävän alueen tilavuus, mikäli se on äärellinen.
Tehtävä 548
Osoita, että avaruuskäyrän
r(t) = e-t(cos t i + sin t j + k),
0 < t < ![oo](kuvat/cmsy10-c-31.gif)
, pituus
on äärellinen ja määritä se.
Vastaus
Tehtävä 549
Käyrä
y = e-x,
0 < x < ![oo](kuvat/cmsy10-c-31.gif)
, pyörähtää x-akselin ympäri. Laske syntyvän
(äärettömyyteen ulottuvan) pyörähdyspinnan ala.
Vastaus
Tehtävä 550
Käyrä
y = 1/x,
1 < x < ![oo](kuvat/cmsy10-c-31.gif)
, pyörähtää x-akselin ympäri, jolloin syntyy
äärettömyyteen ulottuva suppilomainen astia. Laske tämän tilavuus. Astian
halkaisijataso on levy
{(x, y) | |y| < 1/x, x > 1}. Mikä on tämän pinta-ala? Jos astia
täytetään maalilla, tuleeko halkaisijataso kokonaisuudessaan peitetyksi maalilla?
Tehtävä 551
Määritä kaarenpituus napakoordinaattikäyrälle
r = e-![f](kuvat/cmmi8-27.gif)
,
[0,
[. Laske
käyrän kaarevuus parametrin
funktiona. Mikä on kaarevuussäteen raja-arvo, kun
![oo](kuvat/cmsy10-c-31.gif)
? Piirrä käyrä.