2 Reaaliarvoiset funktiot

2.1 Jatkuvuus

Tehtävä 23

Tutki funktion

f(x, y) =

raja-arvoa, kun piste (x, y) lähestyy origoa pitkin seuraavia xy-tason käyriä: a) y = ax, b) y = ax² , c) y² = ax. Onko funktiolla raja-arvoa origossa?

Vastaus

---

Tehtävä 24

Tutki, onko seuraavilla kahden reaalimuuttujan reaaliarvoisilla funktioilla raja-arvoa origossa:

a) ,   b) ,   c) ,   d) .

---

Tehtävä 25

Tarkastellaan funktiota f(x, y) = x^y, missä x > 0, y > 0, (x, y)(0, 0). Osoita, että funktiolla ei ole raja-arvoa origossa. Mitä arvoja funktio saa jokaisessa origon ympäristössä? Piirrä funktion kuvaaja origon ympäristössä.

---

Tehtävä 26

Olkoon geometrisessa avaruudessa E³ määriteltynä reaaliarvoinen funktio

f(r) = ,   b ^. r0,

missä a ja b ovat lineaarisesti riippumattomia vakiovektoreita. Tutki, onko olemassa raja-arvoa

lim_rof(r).

Vastaus

---

Tehtävä 27

Funktio f : ² määritellään asettamalla f(0, 0) = a ja origon ulkopuolella funktiolla on lauseke

a) ,   b)  ,   c) ,   d) ,   e) .

Voidaanko a valita siten, että f on jatkuva origossa?

Vastaus

---

Tehtävä 28

Tutki, voidaanko funktiot

a) ,   b) ,   c) ,   d) 

määritellä origossa siten, että niistä tulee jatkuvia. Piirrä funktioiden kuvaajat origon ympäristössä.

---

Tehtävä 29

Olkoon f : ² ,

f(x, y) =

Osoita, että funktiolla on sama raja-arvo origossa lähestyttäessä mitä tahansa suoraa pitkin, mutta siitä huolimatta varsinainen raja-arvo ei ole olemassa. Missä pisteissä funktio ei ole jatkuva?

---

Tehtävä 30

Funktio f : ⁿ olkoon jatkuva avoimessa joukossa G ⁿ; olkoon x₀ G ja f(x₀) > 0. Osoita, että on olemassa ympäristö U(x₀) siten, että f(x) > 0, kun x U (x₀ ).

---

Tehtävä 31

Funktio f : ⁿ olkoon kaikkialla jatkuva; olkoot a ja b reaalilukuja, a < b. Osoita, että joukko S = { x ⁿ | a < f(x) < b } on avoin. Määritä S tapauksessa f : ² , f(x, y) = e^x+2y, a = 1, b = 2.

---

Tehtävä 32

Funktio f : ⁿ olkoon kaikkialla jatkuva. Todista, että joukko S = { x ⁿ | f(x) = 0 } on suljettu. Määritä S tapauksessa f : ³ , f(x, y, z) = x² + y² - z².

---

Tehtävä 33

Funktio f : ⁿ olkoon jatkuva ja 0 kompaktissa joukossa S ⁿ. Päättele, että on olemassa reaaliluku a > 0 siten, että |f(x)| > a kaikilla x S. Onko tulos voimassa, jos S ei ole kompakti? Esitä esimerkkejä.

---

Tehtävä 34

Funktio f : ⁿ olkoon kaikkialla jatkuva ja sillä olkoon ominaisuudet

lim_||x||f(x) = 0,     x₁, x₂ ⁿ  siten, että  f(x₁)f(x₂) < 0.

Päättele, että funktion arvojoukolla { f(x) | x ⁿ } on maksimi ja minimi. Päteekö tulos, jos luovutaan funktion jatkuvuudesta tai jommastakummasta lisäominaisuudesta? Esitä esimerkkejä.

---

Tehtävä 35

Funktio f : ² olkoon kaikkialla jatkuva ja sillä olkoon ominaisuus

f(x, y) <  x, y .

Osoita, että on olemassa reaaliluku a < 1 siten, että f(x, y) < a kaikilla (x, y) ².

---

2.2 Osittaisderivaatat

Tehtävä 36

Muodosta seuraavien funktioiden osittaisderivaatat kaikkien esiintyvien muuttujien suhteen:

a) xy3 + x sin(xy),

b)  ln sin(x - 2y),

c)  sin ,

d)  logyx,

e) (xy)z,

f) zxy,

g) xyx ,

h) xyz .

Vastaus

---

Tehtävä 37

Laske kunkin funktion tapauksessa annettu osittaiderivaattalauseke ja saata se mahdollisimman yksinkertaiseen muotoon:

	a) f(x, y) = ln( + ),   xfx + yfy,
	b) f(x, y, z) = ln(x3 + y3 + z3 - 3xyz),   fx + fy + fz,
	c) f(x, y, z) = x/z,   xfx + yfy + zfz.

Vastaus

---

Tehtävä 38

Tutki, ovatko funktiot a) f(x, y) = , b) (x + y)|x + y| derivoituvia origossa? Entä jatkuvasti derivoituvia?

Vastaus

---

Tehtävä 39

Missä suoran y = x pisteissä funktiolla f(x, y) = |x² - y²| on osittaisderivaatat f_x ja f_y ?

---

Tehtävä 40

Määritä funktion

f(x, y) = ,  kun (x, y)(0, 0),   f(0, 0) = 0

osittaisderivaatat kaikkialla ja osoita, että ne ovat jatkuvia.

---

Tehtävä 41

Olkoon f(x, y) = x³y² + x⁴ sin y + cos(xy). Laske osittaisderivaatat f_xxy, f_xyx, f_yxx ja totea, että nämä ovat yhtä suuria.

Vastaus

---

Tehtävä 42

Laske funktion f(x, y) = x^y ensimmäisen ja toisen kertaluvun osittaisderivaatat, kun x > 0,  y . Ovatko toisen kertaluvun sekaderivaatat yhtä suuria?

---

Tehtävä 43

Laske funktion

f(x, y) = xy,  kun (x, y)(0, 0),   f(0, 0) = 0

ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat origossa ja muualla. Laske toisen kertaluvun sekaderivaatat f_xy(0, 0) ja f_yx(0, 0); totea, että nämä ovat eri suuret. Piirrä funktion kuvaaja.

---

Tehtävä 44

Osoita, että funktiot a) ln(x² + y²), b) tan , c) e^ax cos(ay) (a vakio) ovat Laplacen differentiaaliyhtälön

+ = 0

ratkaisuja eli ns. harmonisisia funktioita.

---

Tehtävä 45

Osoita, että funktio f(x, t) = u(x + at) + v(x - at), missä u ja v ovat kahdesti derivoituvia funktioita ja a vakio, toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön f_tt = a² f_xx.

---

Tehtävä 46

Olkoot f ja g kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita . Määritä vakiot a ja k siten, että funktio u(x, y) = xf(x + ay) + yg(x + ay) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

+ = k.

---

Tehtävä 47

Osoita, että funktio u(x, y) = xf(x + y) + yg(x + y) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

+ = 2

olivatpa f ja g mitä tahansa kahdesti jatkuvasti derivoituvia funktioita .

---

Tehtävä 48

Olkoot u ja v derivoituvia funktioita . Osoita, että funktio f : ² , f(x, y) = u(x) + v(y), toteuttaa differentiaaliyhtälön

= 0.

Osoita kääntäen, että jokaisella tämän differentiaaliyhtälön ratkaisulla on em. muoto.

---

2.3 Differentiaalikehitelmä

Tehtävä 49

Laske funktion lisäys f, differentiaali df ja korjaustermi, kun f(x, y) = x²y, x = 1, y = 3, x = 0.2 ja y = -0.1.

---

Tehtävä 50

Muodosta seuraavien funktioiden (kokonais)differentiaalit:

a)  tan yx,     b) ,     c) x^{y ln z},     d)  ln tan .

---

Tehtävä 51

Arvioi differentiaalin avulla lausekkeen

z = e^{x sin y} tan x

arvoa, kun x = 1 ± 0.001 ja y = 30 ± 0.02^o.

Vastaus

---

Tehtävä 52

Osoita suoraan differentioituvuuden määritelmän perusteella, että funktio f(x, y) = x cos y on differentioituva koko tasossa ².

---

Tehtävä 53

Olkoon f : jatkuvasti derivoituva funktio. Määritellään funktio g : ² asettamalla

g(x, y) =

Osoita, että g on differentioituva pisteessä (a, a), jos f''(a) on olemassa.

---

Tehtävä 54

Missä tason ² pisteissä funktio f(x, y) = max{|x|, |y|} on differentioituva?

---

Tehtävä 55

Määritä funktion f : ² ,

f(x, y) = (x² + y²) sin ,  kun (x, y)(0, 0),     f(0, 0) = 0

osittaisderivaatat origossa. Osoita, että funktio on differentioituva. Osoita, että osittaisderivaatat eivät ole jatkuvia origossa.

Vastaus

---

Tehtävä 56

Olkoon

f(x, y) = ,   kun (x, y)(0, 0),     f(0, 0) = 0.

Määritä funktion osittaisderivaatat origossa ja osoita, että funktio ei ole differentioituva origossa. Piirrä funktion kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 57

Olkoon reaaliarvoinen funktio f määritelty avoimessa joukossa G ⁿ ja differentioituva pisteessä x₀ G. Todista, että tällöin f toteuttaa Lipschitzin ehdon pisteessä x₀ : On olemassa vakio M > 0 ja ympäristö U(x₀) siten, että

|f(x) - f(x₀)| < M||x - x₀||   x U(x₀).

---

Tehtävä 58

Laske funktion f : ² , f(x, y) = x⁴ + 2y² + 4xy differentiaali pisteessä (-3, 2). Mikä on tämän yhteys pinnan z = f(x, y) tangenttitasoon?

---

Tehtävä 59

Laske seuraavien funktioiden suunnatut derivaatat annettuihin suuntiin annetuissa pisteissä:

	a) f(x, y) = ex+y,   i + j,   (0, 0),
	b) f(x, y) = sin(x) cos(y2),   i - 2j,   (1, 2),
	c) f(x, y, z) = xy2z3,   6i - 2j + 3k,   (-3, 2, 1),
	d) f(x, y, z) = xy2 + yz3,   i + j - 2k,   (3, -1, 4).

Vastaus

---

Tehtävä 60

Laske funktion f(x, y, z) = xy + cos x + y²z ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja gradientti pisteessä (/2, 1, -/2). Mitä gradientti ilmaisee funktiosta f ? Entä pinnasta f(x, y, z) = 0 ?

---

Tehtävä 61

Mihin suuntaan funktio f(x, y, z) = x³ - 2xy²z + 5yz⁴ kasvaa nopeimmin pisteessä (2, -2, 1)? Mikä on funktion derivaatta tähän suuntaan? Piirrä funktion kuvaaja, kun se rajoitetaan tämän suuntaiselle ko. pisteen kautta kulkevalle suoralle.

---

Tehtävä 62

Olkoon f : ³ , f(x, y, z) = xy² + yz³. Tutki, mihin suuntaan pisteestä (3, -1, 4) on edettävä, jotta a) funktio kasvaisi mahdollisimman nopeasti, b) funktio ei kasvaisi lainkaan. Mikä on funktion derivaatta nopeimman kasvun suuntaan?

Vastaus

---

Tehtävä 63

Tutki, mihin suuntaan v funktio f(x, y, z) = xy² + yz³ kasvaa nopeimmin pisteessä P    (3, -1, 2). Muodosta yhden muuttujan funktio, joka kuvaa funktion f käyttäytymistä pisteen P kautta kulkevalla vektorin v suuntaisella suoralla; valitse argumentiksi etäisyys pisteestä P (positiivisena vektorin v suuntaan, negatiivisena vastakkaiseen suuntaan).

---

Tehtävä 64

Etsi pisteet, joissa funktion f(x, y, z) = xy + cos x + y²z gradientti on yz-tason suuntainen.

---

Tehtävä 65

Tutki gradienttia käyttäen, missä pisteissä käyrän x³ + y³ - 3xy = 0 tangentti on a) pystysuora, b) vaakasuora, c) kaltevuudeltaan 45^o.

---

Tehtävä 66

Mihin suuntiin funktion f(x, y) = 2x - y² suunnattu derivaatta origossa on = 0?

---

Tehtävä 67

Mihin suuntiin funktion f : ² ,

f(x, y) = ,  kun (x, y)(0, 0),   f(0, 0) = 0,

origossa muodostettu suunnattu derivaatta on olemassa? Onko f differentioituva origossa?

---

Tehtävä 68

Olkoon f : ⁿ differentioituva pisteessä x₀ ⁿ ja grad f(x₀)O. Osoita, että on olemassa täsmälleen yksi yksikkövektori w ⁿ siten, että suunnattu derivaatta suuntaan w pisteessä x₀ on = || grad f(x₀)||.

---

Tehtävä 69

Graafisen esityksen perusteella on käyrän y = f(x) ensimmäiselle ja toiselle derivaatalle saatu tarkastelukohdan ympäristössä arviot

2.995 < f'(x) < 3.005,   1.99 < f''(x) < 2.01.

Määritä differentiaalia käyttäen likimääräiset virherajat käyrän kaarevuussäteelle kyseisessä kohdassa.

Vastaus

---

Tehtävä 70

Helsingin ja Tokion maantieteelliset koordinaatit asteen tarkkuudella ovat seuraavat:

	Helsinki:	60o	N ,	25o	E ;
	Tokio:	36o	N ,	140o	E .

Maapallon säde on 6370 km kymmenen kilometrin tarkkuudella. Arvioi kokonaisdifferentiaalia käyttäen, millä tarkkuudella kaupunkien lyhin etäisyys maapallon pintaa pitkin mitattuna voidaan näistä tiedoista laskea, kun oletetaan maa täysin pallonmuotoiseksi.

---

Tehtävä 71

Pisteen B etäisyys pisteestä A määritettiin kolmannen pisteen C avulla. Mittaustulokset olivat

|BC| = 265 ± 0.5 m,   ACB = 45 ± 0.1^o,   ABC = 105 ± 0.1^o.

Laske pisteiden A ja B välinen etäisyys ja sille suhteellinen virheraja.

---

Tehtävä 72

Pystysuoran lipputangon varjo vaakasuoralla kentällä havaitaan kahtena ajankohtana. Tänä aikana varjo on kiertynyt kulman 21^o30', auringon korkeuskulma vähentynyt arvosta 35^o30' arvoon 29^o0' ja varjon pää piirtänyt kaaren, jonka jänteen pituus on 784 cm. Mikä on tangon korkeus ja millä tarkkuudella se em. arvoista saadaan, kun kulmamittausten tarkkuus on 15' ja pituusmittauksen 2 cm?

---

Tehtävä 73

Miten tarkkoja lukujen e ja likiarvoja on käytettävä, jotta luvun a) e, b) e virhe olisi < 0.005?

---

Tehtävä 74

Karttapaperi kutistuu x-akselin suunnassa 1 % ja y-akselin suunnassa 0.6 %. Arvioi kokonaisdifferentiaalia käyttäen, kuinka monta prosenttia on korjattava sellaista etäisyyttä, joka kutistuneella kartalla muodostaa 30 asteen kulman x-akselin kanssa? Montako astetta kulmaa on korjattava?

Vastaus

---

2.4 Väliarvolause

Tehtävä 75

Olkoon f(x, y) = x² + 2y² - xy. Etsi väliarvolausessa mainittu piste (, ), jolle pätee

f(x, y) - f(0, 0) = f_x(, )x + f_y(, )y.

---

Tehtävä 76

Funktiot f : ⁿ ja g : ⁿ olkoot differentioituvia alueessa G ⁿ. Osoita, että jos kaikilla x G pätee

f_xk(x) = g_xk(x),   k = 1, . . . , n,

niin on olemassa vakio C siten, että f(x) = g(x) + C alueessa G.

---

2.5 Ketjusääntö

Tehtävä 77

Laske ketjusääntöä käyttäen , kun

	a) w = xy + yz + zx,   x = et,  y = 2t2,  z = e-t,
	b) w = ,   x = 2t,  y = t2,
	c) w = ln(x2 + 3xy2 + 4y4),   x = 2t2,  y = 3t.

---

Tehtävä 78

Laske ketjusääntöä käyttäen ja , kun

	a) w = x ln(x2 + y2),   x = s + t,  y = s - t,
	b) w = ex+2y sin(2x - y),   x = s2 + 2t2,  y = 2s2 - t2.

---

Tehtävä 79

Kappale kulkee pinnalla F (x, y, z) = 0 siten, että sen x- ja y-koordinaattien aikariippuvuus tunnetaan: x = x(t), y = y(t). Lausu kappaleen nopeusvektori funktioiden F , x ja y derivaattojen avulla. Sovella tulosta tapaukseen, missä pinta on yksikkösäteinen pallo ja x- ja y-koordinaatit kasvavat aikaan verrannollisesti: x(t) = y(t) = t. Liike alkaa hetkellä t = 0. Hahmottele nopeusvektorin itseisarvon kuvaaja.

Vastaus

---

Tehtävä 80

Olkoon u(x, y) = sin x + f(sin y - sin x), missä f : on differentioituva funktio. Osoita, että lauseke u_y cos x + u_x cos y on riippumaton funktiosta f.

Vastaus

---

Tehtävä 81

Olkoot f ja g kaksi kahdesti derivoituvaa funktiota ja olkoon h(x, y) = f(xg(y)). Laske funktion h toisen kertaluvun osittaisderivaatat.

---

Tehtävä 82

Osoita, että funktio z = tan , missä x = u + v, y = u - v, toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

+ = .

---

Tehtävä 83

Kahdesti jatkuvasti derivoituva funktio f(x, t) toteuttaa aaltoyhtälön

= c².

Merkitään u = x + ct, v = x - ct, f(x, t) = F (u, v). Etsi osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiolle F .

---

Tehtävä 84

Olkoon u(x, y) kahdesti jatkuvasti derivoituva reaaliarvoinen funktio, joka tasossa ² toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

= .

Merkitään x = s + t, y = s - t ja u(x, y) = u(s + t, s - t) = U(s, t). Muunna osittaisdifferentiaaliyhtälö funktiota U koskevaksi ja ratkaise se. Millainen ratkaisu tästä saadaan alkuperäisen yhtälön tuntemattomalle funktiolle u ?

---

Tehtävä 85

Olkoon f koko xy-tasossa määritelty funktio ja olkoon tämän esitys napakoordinaattien avulla f(x, y) = f(r cos , r sin ) = F (r, ). a) Lausu funktion f osittaisderivaatat funktion F osittaisderivaattojen ja muuttujien r, avulla. b) Lausu funktion F osittaisderivaatat funktion f osittaisderivaattojen ja muuttujien x, y avulla.

---

Tehtävä 86

Lausutaan funktio f(x, y) napakoordinaattien avulla:

f(x, y) = f(r cos , r sin ) = F (r, ).

Esitä lauseke

² + ²

napakoordinaattien ja funktion F osittaisderivaattojen avulla.

Vastaus

---

Tehtävä 87

Suure S voidaan esittää sekä suorakulmaisten että napakoordinaattien avulla: S = f(x, y) = F (r, ). Se toteuttaa suorakulmaisten koordinaattien suhteen osittaisdifferentiaaliyhtälön

² + ² = 1.

Millaisen napakoordinaattien suhteen muodostetun osittaisdifferentiaaliyhtälön se toteuttaa?

Vastaus

---

Tehtävä 88

Funktio u(x, y) on tason ² pisteissä määritelty skalaarikenttä; napakoordinaattien avulla lausuttuna tämä on U(r, ). Lausu napakoordinaateissa

a) x - y,   b) x + y,   c)  + .

---

Tehtävä 89

Muunna osittaisdifferentiaaliyhtälö

x + y = x² + y²

napakoordinaatteihin. Merkitse tällöin u(x, y) = U(r, ). Millaisia ratkaisuja yhtälöllä on? Oletetaan lisäksi, että ratkaisufunktio saa xy-tason yksikköympyrällä arvot u(x, y) = x. Onko u tällöin jatkuva origossa?

Vastaus

---

Tehtävä 90

Funktio f(x, y) toteuttaa alueessa { (x, y) | x > 0,  y > 0 } osittaisdifferentiaaliyhtälön

x = y.

Lisäksi pätee f(x, x) = x, kun x > 0. Muunna yhtälö sijoituksella u = xy, v = y/x funktiota F (u, v) = f(x, y) koskevaksi ja ratkaise f(x, y). Onko funktiolla f raja-arvoa origossa?

Vastaus

---

Tehtävä 91

Olkoon skalaarikenttä u muotoa u(x, y, z) = f(r), missä r = ja f on derivoituva. Kenttä toteuttakoon osittaisdifferentiaaliyhtälön

x + y + z = u.

Muunna tämä funktiota f koskevaksi differentiaaliyhtälöksi, jossa muuttujana on r. Ratkaise yhtälö. Minkälainen lauseke saadaan kentälle u?

---

Tehtävä 92

Olkoon f geometrisessa avaruudessa E³ määritelty funktio: f(r) = f(x, y, z) = g(r), missä g : on derivoituva yhden muuttujan funktio ja paikkavektorin r = x i + y j + z k pituus on r = . Funktio f riippuu siis vain origosta mitatusta etäisyydestä. Osoita:

grad f = g'(r) .

---

Tehtävä 93

Funktio f(x, y) toteuttaa osittaisdifferentiaaliyhtälön

- 4x + 4x² - 2 = 0.

Olkoot u = x² + y ja v = x uudet muuttujat; siis x = v, y = u - v². Merkitään f(x, y) = f(v, u - v²) = F (u, v). Millaisen osittaisdifferentiaaliyhtälön toteuttaa funktio F ?

---