Here be a line, if not the image is missing
 

Potenssit ja juuret

Aloitussivu

Potenssi an tarkoittaa tuloa, jossa on n yhtä suurta tekijää, jokainen = a. Tällöin siis n on luonnollinen luku ja a voi olla mikä tahansa luku. Vaiheittain määritelmä laajennetaan koskemaan kaikkia reaalilukuja n. Tällöin joudutaan rajoittumaan positiivisiin lukuihin a.

M Kokonaislukupotenssit
M Murtopotenssit
M Irrationaalinen potenssi

 

Jos luvulla x on ominaisuus xn = a, sanotaan, että x on luvun a n:s juuri ja merkitään x = n√a--. Jos a > 0 ja n on parillinen, löytyy lukua a vastaamaan kaksi lukua x, toinen positiivinen, toinen negatiivinen. Positiivista kutsutaan juuren päähaaraksi.

Korottamalla yhtälö xn = a potenssiin 1∕n saadaan potenssin laskusääntöjen mukaan x = a1∕n, mikä siis on toinen tapa merkitä juurta. Tämän tulkitaan yleensä tarkoittavan päähaara-arvoa.

M Juuret
M Juurifunktiot

 

Potenssin ja juuren määritelmät voidaan laajentaa myös tapaukseen, jossa a on negatiivinen luku tai kompleksiluku; myös n voi olla kompleksiluku. Tilanteesta tulee tällöin kuitenkin huomattavasti monimutkaisempi.

Esimerkiksi: (!)

Esimerkkejä

  1. Erilaisten potenssi- ja juurifunktioiden kuvaajia:

    kuvaaja1
    kuvaaja2
    kuvaaja3
    kuvaaja4


  2. Sievennetään käyttäen potenssin laskusääntöjä:

    (( 22) 3)2 a b ⋅ a = (a2b2a3)2 ( )2 = a2+3b2 = a2⋅5b2⋅2 = a10b4.


  3. Sievennetään murtopotenssien tulo käyttämällä potenssien ja murtolukujen laskusääntöjä:

    a√--- √c--- xb ⋅ xd, x > 0 ba+dc bc+aacd = x√ ---=-x = ac xbc+ad.

(LiveGr3D) Potenssifunktion kuvaaja

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Laske:

    1.    3 4 2 2 7 (− 2) + (− 1) − (− 1 ) + (− 3) − (− 1)

    2.    −1 − 3 −1 −3 (− 8) − (− 2) + 3 ⋅ (− 8) + 5 ⋅ (− 2)

    3.    5 (1-)5 + 2−4 − -1-+ 2-- 2 23 24

    4.    3 −5+5 32 (2 ) − 2

  2. Laske:

    1.    -- ---- ((√ 4)3)2 − ((√32 ⋅ 3)2)6

    2.    2∕3 1∕6 1∕3− 1 2 (2 ⋅ 4 )

    3.    √ --2 2 1∕2 − 2( − ( − (− 7) − 1∕2( 2) ) ) + 25

    4.   ∘ --√--- 3a a

  3. Laske:

    1.   −-23-−-(−-20)3 (2− 1)− 3 − 2− 3

    2.    2 1 1 [(− -)3 − (− 1 -)−3] : (− 4-) 3 2 3

    3.   |2−2 − 5−2| − (− 10)− 2

    4.   (xn− 1)n− 1 ⋅ (xn)2−n

    5.   √3--√3-2- √3-5- a( a − a )

  4. Sievennä:

    1.    1 -x −-x 1x + 1

    2.   ------x-−-1------ (1 − √1-)(1 + 1√-) x x

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä