Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		LINEAARIALGEBRA
 

Vektoriavaruuden dimensiosta

Tämän sivun teoria tarjoaa apua haettaessa jollekin vektoriavaruudelle kantaa.

Oletetaan koko ajan, että (V, +, . ) on vektoriavaruus, jonka nollavektori on h.

Lemma. Jos joukon V osajoukko A = {X1,...,Xk} on lineaarisesti riipumaton ja Xk+1 / (- L(X1,...,Xk), niin joukko A' = {X1,...,Xk,Xk+1} on lineaarisesti riippumaton.

Todistus. Tehdään vastaoletus, että joukko A' olisi lineaarisesti riippuva. Silloin on olemassa epätriviaalin relaation

c1X1 + ...+ ckXk + ck+1Xk = h

toteuttavat luvut c1,...,ck+1 (- R. Nyt ck+1/=0, koska muuten joukko A olisi lineaarisesti riippuva. Yhtälöstä voidaan ratkaista Xk+1 eli Xk+1 (- L(X1,...,Xk), mikä on ristiriita. []

Lause. Jos dim(V, +, . ) = n, niin joukko B = {X 1,...,Xn} on vektoriavaruuden kanta, jos

     (i)   B generoi joukon V , TAI
     (ii)   B on lineaarisesti riippumaton.

Todistus. (i) Oletetaan, että joukko B toteuttaa ehdon (i). Koska B generoi joukon V ja dim(V, +, . ) = n, niin sivun Vektoriavaruuden kannasta lauseen mukaan joukko B on vektoriavaruuden kanta.

(ii) Oletetaan, että B on lineaarisesti riippumaton. Jos B ei generoi joukkoa V, niin edellisen lemman nojalla voitaisiin muodostaa lineaarisesti riippumaton joukko {X1,...,Xn,Xn+1}. Tämä on ristiriita sivun Vektoriavaruuden dimensio ensimmäisen lauseen kanssa. []

Lause. Olkoon dim(V, +, . ) = n. Olkoot X 1,...,Xk lineaarisesti riippumattomia joukon V vektoreita. Silloin on olemassa sellaiset joukon V vektorit Xk+1,...,Xn, että joukko {X1,...,Xn} on vektoriavaruuden (V, +, . ) kanta.

Todistus. Sivun Vektoriavaruuden dimensio ensimmäisen lauseen mukaan on k < n. Jos k = n, niin edellisen lauseen mukaan joukko A = {X1,...,Xk} on kanta.

Olkoon k < n. Silloin A ei ole vektoriavaruuden (V, +, . ) kanta. Täten joukko L(X 1,...,Xk) muodostaa vektoriavaruuden (V, +, . ) aidon aliavaruuden. Valitaan tämän aliavaruuden ulkopuolelta jokin Xk+1 (- V, jolloin edellisen lemman nojalla joukko {X1,...,Xk,Xk+1} on lineaarisesti riippumaton. Jatketaan samoin kunnes on saatu kokoon n lineaarisesti riippumatonta vektoria. Edellisen lauseen mukaan nämä muodostavat vektoriavaruuden kannan. []

Edellisen lauseen mukaan voidaan siis jokainen joukon V lineaarisesti riippumaton osajoukko täydentää vektoriavaruuden (V, +, . ) kannaksi.

Linkit:
Vektoriavaruuden kanta
Vektoriavaruuden kannasta
Vektoriavaruuden dimensio