Lagrangen lauseLause. [Lagrangen lause] Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja (H,*) < (G,*). Silloin ![]() Erityisesti siis äärellisen ryhmän aliryhmien kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun.
Todistus. Olkoot h1 ja h2 joukon H kaksi alkiota. Jos jollekin a Olkoon D jokin vasempien sivuluokkien edustajisto, siis ![]() mistä seuraa lauseen väite.
Lagrangen lausetta voidaan käyttää tutkittaessa, mitkä ryhmän (G,*) joukon G osajoukoista
voivat muodostaa aliryhmiä. Lauseen perusteella voidaan esimerkiksi sanoa, ettei joukon G aito
osajoukko, jossa on enemmän kuin Lause. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä. Kaikilla a
Todistus. Koska ord(a) =
Jos a ![]() missä e on ryhmän G neutraalialkio. Tuloksena on saatu seuraava lause. Lause. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja
Lause. Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen.
Todistus. Olkoon (G,*) ryhmä ja Lopuksi varoitus Lagrangen lausetta koskien. Sen käänteinen tulos ei yleisesti pidä paikkaansa. Toisin sanoen yleisesti, jos ryhmän kertaluku on n niin kaikille luvun n tekijöille m ei ole olemassa aliryhmää, jonka kertaluku olisi m.
Linkit:
|