Lagrangen lause

Lause. [Lagrangen lause] Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja (H,*) < (G,*). Silloin

Erityisesti siis äärellisen ryhmän aliryhmien kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun.

Todistus. Olkoot h₁ ja h₂ joukon H kaksi alkiota. Jos jollekin a G on a * h₁ = a * h₂, niin ryhmän yhtälön supistussäännön nojalla h₁ = h₂. Täten jokaisessa sivuluokassa a * H on yhtä monta alkiota kuin joukossa H.

Olkoon D jokin vasempien sivuluokkien edustajisto, siis D = [G : H]. Koska vasemmat sivuluokat muodostavat joukon G partition saadaan

mistä seuraa lauseen väite.

Lagrangen lausetta voidaan käyttää tutkittaessa, mitkä ryhmän (G,*) joukon G osajoukoista voivat muodostaa aliryhmiä. Lauseen perusteella voidaan esimerkiksi sanoa, ettei joukon G aito osajoukko, jossa on enemmän kuin G/2 alkiota voi muodostaa aliryhmää. Lagrangen lauseen seurauksena saadaan myös seuraavat lauseet.

Lause. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä. Kaikilla a G, ord(a) | G.

Todistus. Koska ord(a) = < a > ja (< a >,*) on ryhmän (G,*) aliryhmä, niin väite seuraa Lagrangen lauseesta.

Jos a G ja (G,*) on äärellinen ryhmä, niin edellisen lauseen perusteella G = ord(a) ^. k, jollekin kokonaisluvulle k. Täten

missä e on ryhmän G neutraalialkio. Tuloksena on saatu seuraava lause.

Lause. Olkoon (G,*) äärellinen ryhmä ja G = n. Silloin aⁿ = e kaikilla a G.

Lause. Jos ryhmän kertaluku on alkuluku, niin ryhmä on syklinen.

Todistus. Olkoon (G,*) ryhmä ja G = p, missä p on alkuluku. Valitaan a G, ae. Silloin Lagrangen lauseen ensimmäisen seurauslauseen mukaan ord(a) | p. Koska p on alkuluku ja toisaalta ord(a) > 1, on ord(a) = p. Täten a generoi koko ryhmän (G,*).

Lopuksi varoitus Lagrangen lausetta koskien. Sen käänteinen tulos ei yleisesti pidä paikkaansa. Toisin sanoen yleisesti, jos ryhmän kertaluku on n niin kaikille luvun n tekijöille m ei ole olemassa aliryhmää, jonka kertaluku olisi m.

Linkit:
Ryhmän perusominaisuuksia
Vasemmat sivuluokat
Sykliset ryhmät
Lagrangen lauseen sovellus lukuteoriaan