Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		KUNTA
 

Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio

Olkoon (R, +, . ) rengas. Voidaanko (R, +, . ) jotenkin laajentaa kunnaksi? Laajennus on selvästi mahdoton, jos rengas R ei ole kommutatiivinen tai joukossa R on nollanjakajia. Jos (R, +, . ) on kokonaisalue, voidaan R laajentaa kunnaksi konstruoimalla niin sanottu kokonaisalueen R osamääräkunta Q(R), jossa R on alirenkaana. Konstruktiossa liitetään joukkoon R sen nollasta eroavien alkioiden b käänteisalkiot 1b ja lisäksi tulot a . 1b = ab kaikilla a (- R.

Esitetään konstruktio vielä yksityiskohtaisesti. Se, että konstruktio tuottaa kunnan, todistetaan sivulla Kokonaisalueen osamääräkunta.

Olkoon (D, +, . ) kokonaisalue. Muodostetaan joukko

X = {(a,b) |a,b (- D, b /= 0}

ja määritellään tässä joukossa relaatio ~ seuraavasti:

(a,b) ~ (c,d) <==> ad = bc.

Relaatio ~ todetaan ekvivalenssirelaatioksi tarkistamalla ekvivalenssirelaation ehdot E1-E3. Oletetaan, että (a,b), (c,d), (e,f) (- X. Selvästi ~ on refleksiivinen: (a,b) ~ (a,b). Relaation ~ symmetrisyys seuraa siitä, että kokonaisalue D on kommutatiivinen. Lisäksi ~ on transitiivinen, sillä jos (a,b) ~ (c,d) ja (c,d) ~ (e,f), niin ad = bc ja cf = de. Koska b/=0, saadaan c = ad b-. Sijoittamalla tämä jälkimmäiseen yhtälöön ja laventamalla alkiolla b ja supistamalla alkiolla d saadaan af = be eli (a,b) ~ (e,f).

Joukko X voidaan partitioida ekvivalenssiluokkiin [(a,b)]. Näitä luokkia sanotaan formaalisiksi osamääriksi ja niistä käytetään merkintää a b. Siis

a= {(x,y) |(x,y) ~ (a,b)}= {(x, y)| x,y (- D, y /= 0, xb = ya}. b

Erityisesti a b = c d jos ja vain jos ad = bc. Kaikkien formaalisten osamäärien joukosta käytetään merkintää Q(D). Siis

Q(D) = {a--|a,b (- D, b /= 0}. b

Määritellään joukossa Q(D) yhteen- ja kertolasku. Jos ab,cd (- Q(D), niin

a- c- ad-+-bc- a- c- ac- b + d = bd , b .d = bd.

Pitää osoittaa, että operaatiot ovat hyvinmääriteltyjä, toisin sanoen operaatioiden tulos pysyy joukossa Q(D) ja operaatiot ovat riippumattomia ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta. Ensinnäkin, koska b/=0D, d/=0D ja D on kokonaisalue, niin bd/=0D. Oletetaan sitten, että a b= a'' b ja c d = c'' d. Silloin ab' = ba' ja cd' = dc'. Käyttäen kokonaisalueen kommutatiivisuutta ja distributiivilakia saadaan

ac(ad + cb)b'd' adb'd'+ cbb'd' ba'dd'+ dc'bb' bd(a'd'+ b'c') a' c' +=----------= --------------= --------------= --------------= -- + --. bd bdb'd' bdb'd' bdb'd' bdb'd' b' d'

Kertolasku voidaan käsitellä samoin.

Linkit:
Kokonaisalue
Kokonaisalueen osamääräkunta
Alirengas
Ekvivalenssirelaatio
Ekvivalenssiluokka