Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktioOlkoon (R, +, . ) rengas. Voidaanko (R, +, . ) jotenkin laajentaa kunnaksi? Laajennus on
selvästi mahdoton, jos rengas R ei ole kommutatiivinen tai joukossa R on nollanjakajia. Jos
(R, +, . ) on kokonaisalue, voidaan R laajentaa kunnaksi konstruoimalla niin sanottu
kokonaisalueen R osamääräkunta Q(R), jossa R on alirenkaana. Konstruktiossa liitetään
joukkoon R sen nollasta eroavien alkioiden b käänteisalkiot Esitetään konstruktio vielä yksityiskohtaisesti. Se, että konstruktio tuottaa kunnan, todistetaan sivulla Kokonaisalueen osamääräkunta. Olkoon (D, +, . ) kokonaisalue. Muodostetaan joukko ![]() ja määritellään tässä joukossa relaatio ~ seuraavasti: ![]() Relaatio ~ todetaan ekvivalenssirelaatioksi tarkistamalla ekvivalenssirelaation ehdot E1-E3.
Oletetaan, että (a,b), (c,d), (e,f) Joukko X voidaan partitioida ekvivalenssiluokkiin [(a,b)]. Näitä luokkia sanotaan formaalisiksi
osamääriksi ja niistä käytetään merkintää ![]() Erityisesti ![]()
Määritellään joukossa Q(D) yhteen- ja kertolasku. Jos ![]() Pitää osoittaa, että operaatiot ovat hyvinmääriteltyjä, toisin sanoen operaatioiden tulos pysyy
joukossa Q(D) ja operaatiot ovat riippumattomia ekvivalenssiluokan edustajan valinnasta.
Ensinnäkin, koska b ![]() Kertolasku voidaan käsitellä samoin.
Linkit:
|