Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003 		KUNTA
 

Kokonaisalueen osamääräkunta

Todistetaan nyt, että sivulla Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio kostruoitu systeemi todella on kunta. Yhteen- ja kertolasku määritellään kuten kyseisellä sivulla.

Lause. Kolmikko (Q(D), +, . ) on kunta. Lisäksi joukon Q(D) osajoukko

D'= {-a-| a (- D} 1D

muodostaa kunnan (Q(D), +, . ) alirenkaan. Alirengas (D', +, . ) on kokonaisalue ja isomorfinen kokonaisalueen (D, +, . ) kanssa.

Todistus. Kolmikko (Q(D), +, . ) on kommutatiivinen rengas, jonka nolla-alkio on 0D- 1D ja ykkösalkio 1D1D. Alkion ab (- Q(D) vasta-alkio on -ab-. Rengaspostulaattien läpikäyminen jätetään harjoitukseksi.

Olkoon a b (- Q(D). Jos a b /=0 1DD-, niin a1D/=b0D eli a/=0D. Täten b a (- Q(D) ja b a on alkion a b käänteisalkio, sillä a b . b a = ab ab = 1D- 1D. Näin ollen rengas (Q(D), +, . ) on kunta.

Muodostetaan kuvaus

j : (D, +, .)-- > (Q(D), +, .), j(a) = -a- A a (- D. 1D

Kuvaus j on rengashomomorfismi kuten helposti nähdään tarkistamalla ehdot RH1-RH3. Lisäksi kuvaus j on injektio, sillä jos j(a) = j(b) eli a 1D- = b 1D--, niin a1D = b1D eli a = b. Renkaiden homomorfialauseen mukaan saadaan

(D,+, .) - ~ (Im (j),+, .), missä Im (j) = { a--|a (- D}= D'. 1D

Sivun Rengashomomorfismin ydin ja kuva huomion perusteella (D', +, . ) on kunnan (Q(D), +,  .   ) alirengas. []

Määritelmä. Kuntaa (Q(D), +, . ) sanotaan kokonaisalueen (D, +, . ) osamääräkunnaksi tai jakokunnaksi (quotient field, field of fractions).

Jos konstruoidaan osamääräkunta (Q(D), +, . ) kokonaisalueelle (D, +, . ), joka on jonkin kunnan (K, +, . ) alirengas, niin Q(D) on isomorfinen sivun Huomioita alikunnasta lauseessa määritellyn kunnan

a KD = {b-|a, b (- D, b /= 0D}

kanssa. On luonnollista samaistaa Q(D) ja KD, ja nimittää myös kuntaa KD kokonaisalueen D osamääräkunnaksi. Edellisessä lauseessa todistettiin, että D on aina kunnan Q(D) alirengas, joten osamääräkunta voidaan aina ajatella muodossa KD. Nähdään myös, että kokonaisalueen D osamääräkunta (KD, +, . ) on suppein kunta, jonka alirengas (D, +,  .   ) on. Jos nimittäin (K, +, . ) on jokin kunta ja (D, +, . ) se alirengas, niin D (_ KD (_ K.

Voidaan todistaa, että kokonaisalueen osamääräkunnalla on seuraava universaalisuusominaisuus: Jos kokonaisalue A on isomorfinen kokonaisalueen B kanssa, niin kokonaisalueeen A osamääräkunta KA on isomorfinen kokonaisalueen B osamääräkunnan KB kanssa.

Linkit:
Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio
Renkaiden homomorfia
Renkaiden homomorfialause
Rengashomomorfismin ydin ja kuva
Huomioita alikunnasta