Kokonaisalueen osamääräkuntaTodistetaan nyt, että sivulla Kokonaisalueen osamääräkunnan konstruktio kostruoitu systeemi todella on kunta. Yhteen- ja kertolasku määritellään kuten kyseisellä sivulla. Lause. Kolmikko (Q(D), +, . ) on kunta. Lisäksi joukon Q(D) osajoukko ![]() muodostaa kunnan (Q(D), +, . ) alirenkaan. Alirengas (D', +, . ) on kokonaisalue ja isomorfinen kokonaisalueen (D, +, . ) kanssa.
Todistus. Kolmikko (Q(D), +, . ) on kommutatiivinen rengas, jonka nolla-alkio on Olkoon Muodostetaan kuvaus ![]() Kuvaus j on rengashomomorfismi kuten helposti nähdään tarkistamalla ehdot RH1-RH3.
Lisäksi kuvaus j on injektio, sillä jos j(a) = j(b) eli ![]() Sivun Rengashomomorfismin ydin ja kuva huomion perusteella (D', +, . ) on kunnan
(Q(D), +, . ) alirengas.
Määritelmä. Kuntaa (Q(D), +, . ) sanotaan kokonaisalueen (D, +, . ) osamääräkunnaksi tai jakokunnaksi (quotient field, field of fractions). Jos konstruoidaan osamääräkunta (Q(D), +, . ) kokonaisalueelle (D, +, . ), joka on jonkin kunnan (K, +, . ) alirengas, niin Q(D) on isomorfinen sivun Huomioita alikunnasta lauseessa määritellyn kunnan ![]() kanssa. On luonnollista samaistaa Q(D) ja KD, ja nimittää myös kuntaa KD kokonaisalueen D
osamääräkunnaksi. Edellisessä lauseessa todistettiin, että D on aina kunnan Q(D)
alirengas, joten osamääräkunta voidaan aina ajatella muodossa KD. Nähdään myös, että
kokonaisalueen D osamääräkunta (KD, +, . ) on suppein kunta, jonka alirengas
(D, +, . ) on. Jos nimittäin (K, +, . ) on jokin kunta ja (D, +, . ) se alirengas, niin
D Voidaan todistaa, että kokonaisalueen osamääräkunnalla on seuraava universaalisuusominaisuus: Jos kokonaisalue A on isomorfinen kokonaisalueen B kanssa, niin kokonaisalueeen A osamääräkunta KA on isomorfinen kokonaisalueen B osamääräkunnan KB kanssa.
Linkit:
|