Jaottomat polynomit ja kunnat

Sivun Maksimaalinen ihanne lauseen mukaan renkaan (R, +, ^. ) jäännösluokkarengas (R/I, +, ^. ) on kunta jos ja vain jos ihanne I on maksimaalinen. Valitaan nyt renkaaksi (K[x], +, ^. ), kun (K, +, ^. ) on kunta. Osoitetaan, että jaoton polynomi yli kunnan K generoi maksimaalisen pääihanteen. Tästä saadaan muodostettua uusi kunta.

Polynomin f(x) K[x] generoima ihanne on sivun Ihanteen generointi ja pääihannerengas lauseen mukaan

Huomaa, että < f(x) >=< cf(x) > kaikilla kunnan K nolla-alkiosta eroavilla alkioilla c.

Lemma. Polynomirenkaan (K[x], +, ^. ) kaikki ihanteet ovat pääihanteita, siis (K[x], +, ^. ) on pääihannerengas.

Todistus. Olkoon I polynomirenkaan (K[x], +, ^. ) ihanne. Jos I = {0 _K}, se on pääihanne, nimittäin < 0_K > . Oletetaan, että I{0_K}. Olkoon b(x) ihanteen I jokin pienintä mahdollista ei-negatiivista astetta oleva polynomi. Näytetään, että I =< b(x) > .

Koska b(x) I, niin < b(x) > I. Jos a(x) I, niin jakoalgoritmi mukaan on olemassa sellaiset polynomit q(x),r(x) K[x], että

Koska r(x) = a(x) - q(x)b(x), niin ihannekriteerin nojalla r(x) I. Polynomin b(x) valinnasta johtuen r(x) = 0_K. Täten a(x) = q(x)b(x) < b(x) >, siis I < b(x) > .

Lause. Olkoon p(x) polynomirenkaan (K[x], +, ^. ) jaoton polynomi. Silloin < p(x) >= I on renkaan K[x] maksimaalinen ihanne.

Todistus. Jaottoman polynomin määritelmän mukaan deg p(x) > 1. Täten I ei sisällä nollapolynomista eroavia vakiopolynomeja ja on siis renkaan (K[x], +, ^. ) aito ihanne.

Olkoon J sellainen renkaan K[x] ihanne, että I on sen aito osajoukko. On osoitettava, että J = K[x]. Edellisen lemman mukaan on olemassa sellainen b(x) K[x], että J =< b(x) > . Koska I J, niin polynomi p(x) on muotoa k(x)b(x), missä k(x) K[x]. Koska p(x) oletettiin jaottomaksi, on joko k(x) tai p(x) vakiopolynomi. Jos k(x) on vakio, niin I =< p(x) >=< b(x) >= J, mikä on vastoin ihanteen J valintaa. Siis b(x) on vakiopolynomi, joten b(x) = b K \{0_K}. Silloin

missä viimeinen yhtäsuuruus seuraa sivun Ihanne huomiosta.

Sivun yhteenvetona on seuraava lause.

Lause. Jos p(x) on polynomirenkaan (K[x], +, ^. ) yli kunnan (K, +, ^. ) jaoton polynomi, niin jäännösluokkarengas (K[x]/ < p(x) >, +, ^. ) on kunta.

Linkit:
Maksimaalinen ihanne
Ihanne
Ihanteen generointi ja pääihannerengas