Maksimaalinen ihanneKommutatiivisista renkaista voidaan muodostaa kuntia maksimaalisen ihanteen avulla. Määritelmä. Olkoon (R, +, . ) rengas. Renkaan R ihannetta M sanotaan maksimaaliseksi,
jos se on aito (toisin sanoen M
Määritelmän jälkimmäinen ehto on usein mukava ajatella muodossa: Jos I on renkaan
(R, +, . ) ihanne ja M Lause. Olkoon (R, +, . ) kommutatiivinen rengas ja I sen ihanne. Jäännösluokkarengas (R/I, +, . ) on kunta jos ja vain jos I on renkaan (R, +, . ) maksimaalinen ihanne.
Todistus. Oletetaan ensin, että (R/I, +, . ) on kunta. Koska kunnassa on vähintään kaksi
alkiota, niin I Koska I on ihanteen J aito osajoukko, on olemassa alkio a ![]() Tästä saadaan, että 1R = ab + i, jollain alkiolla i Todistetaan väite toiseen suuntaan eli oletetaan, että I on renkaan R maksimaalinen ihanne. Koska rengas R on kommutatiivinen, niin samoin on jäännösluokkarengas (R/I, +, . ). Vielä pitää osoittaa, että kaikilla jäännösluokkarenkaan (R/I, +, . ) nolla-alkiosta I eroavilla alkioilla on käänteisalkio joukossa R/I. Olkoon a + I ![]() Koska kaikki joukon R alkiot voidaan esittää muodossa i + ra, niin erityisesti ykkösalkio
1R = i' + r'a, joillakin i' ![]() Täten r' + I on alkion a + I käänteialkio ja (R/I, +, . ) on siis kunta.
Linkit:
|