linair.nb |
Airyn differentiaaliyhtälö on hyvin yksinkertainen toisen kertaluvun lineaarinen ja homogeeninen differentiaaliyhtälö, joka kuitenkaan ei ole ratkaistavissa tavallisten alkeisfunktioiden avulla:
![[Graphics:Images/linair_gr_1.gif]](Images/linair_gr_1.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_3.gif]](Images/linair_gr_3.gif)
Mathematica tuntee kuitenkin laajemman kokoelman funktioita, ja näiden avulla voidaan lausua sekä differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu että sen derivaatta:
![[Graphics:Images/linair_gr_5.gif]](Images/linair_gr_5.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_7.gif]](Images/linair_gr_7.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_9.gif]](Images/linair_gr_9.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_11.gif]](Images/linair_gr_11.gif)
Kaksi lineaarisesti riippumatonta yksittäisratkaisua saadaan antamalla sopivat alkuehdot ja ratkaisemalla näistä vakiot:
![[Graphics:Images/linair_gr_13.gif]](Images/linair_gr_13.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_15.gif]](Images/linair_gr_15.gif)
Saadut lausekkeet sisältävät uuden erikoisfunktion, gammafunktion. Tälle käytetään yleensä symbolia (kreikkalainen kirjain iso gamma).
Vakioita vastaavat yksittäisratkaisut ovat
![[Graphics:Images/linair_gr_17.gif]](Images/linair_gr_17.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_19.gif]](Images/linair_gr_19.gif)
Nämä voidaan -- hieman Mathematican versiosta riippuen -- saada myös suoraan DSolve-komennolla:
![[Graphics:Images/linair_gr_21.gif]](Images/linair_gr_21.gif)
![[Graphics:Images/linair_gr_23.gif]](Images/linair_gr_23.gif)
Näiden kuvaajista on nähtävissä eräitä toisen kertaluvun homogeeniyhtälölle luonteenomaisia piirteitä:
![[Graphics:Images/linair_gr_25.gif]](Images/linair_gr_25.gif)
Jos differentiaaliyhtälössä vakio
on positiivinen, kyseessä on vakiokertoiminen yhtälö, jonka ratkaisuna on
, ts. sini-kosini-värähtely. Värähtelyn taajuus on sitä suurempi, mitä suurempi
on. Negatiivisilla muuttujan
arvoilla Airyn yhtälö on tämäntyyppinen: Yhtälö voidaan kirjoittaa muotoon
, ja sen ratkaisuna näyttää olevan värähtely, jonka taajuus kasvaa, kun
kasvaa.
Vastaavalla tavalla Airyn yhtälö voidaan rinnastaa positiivisilla muuttujan arvoilla yhtälöön , missä
on positiivinen. Tämän ratkaisut muodostuvat eksponenttifunktioista:
.
Kuvaajat näyttävät myös toisen kertaluvun homogeeniyhtälöiden ratkaisuille tyypillisen ominaisuuden: Jos kahdella lineaarisesti riippumattomalla ratkaisulla on nollakohtia, nämä vuorottelevat. Toisen ratkaisun kahden peräkkäisen nollakohdan välissä on täsmälleen yksi toisen ratkaisun nollakohta. Todistus perustuu Wronskin determinantin ominaisuuksiin.