4 Alkeisfunktiot

Sisällysluettelo

4 Alkeisfunktiot

4.1 Potenssifunktio

4.2 Polynomit ja rationaalifunktiot

Tehtävä 102

Todista, että jokaisella parittoman asteen reaalikertoimisella polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta.

Tehtävä 103

Olkoon p(x) = a_nxⁿ + . . . + a₁x + a₀ reaalikertoiminen polynomi. Todista, että polynomilla on ainakin yksi reaalinen nollakohta, jos a_na₀ < 0.

Tehtävä 104

Todista, että jos kaksi polynomia, joiden asteluku on < n, saavat samat arvot n eri pisteessä, niin polynimt ovat samat.

Tehtävä 105

Todista, että jos astetta n olevalla polynomilla p(x) = sum n
j=0

sum n
j=0

a_jx^j on kohdissa x_i kertalukua m_i olevat nollakohdat (i = 1, 2, . . . , k) ja m₁ + m₂ + . . . + m_k = n, niin voidaan kirjoittaa

p(x) = a_n(x - x₁)^m₁. . . (x - x_k)^m_k.

Tehtävä 106

Olkoot p ja q polynomeja, deg p = n, deg q = m, n > m. Osoita, että on olemassa polynomit h ja r siten, että deg r < deg q ja p = qh + r. Osoita, että nämä ehdot määräävät yksikäsitteisesti polynomit h ja r.

Tehtävä 107

Polynomin p asteluku on < 2 ja kaikilla x

pätee |p(x)| < a|x|³, missä a on vakio. Osoita, että p(x)

0.

Tehtävä 108

Etsi sen polynomin kertoimet, jonka juurina ovat luvut 1, 2, . . . , 20.

Tehtävä 109

Piirrä käyrät

a) y = x
4---x2- , b) y = x2- 2x + 3
x2 +-2x---3- , c) y = |8x2 - 8|
--x4 +-8-

ja määritä niiden asymptootit.

Tehtävä 110

Minkä kahden muuttujan polynomiyhtälön ratkaisuna saadaan seuraava algebrallinen funktio:

a) --
V~ x + V~ 1-
x , b) V~ --------
1- V~ x + V~ --------
1 + V~ x ?

4.3 Eksponentti- ja logaritmifunktio

Tehtävä 111

Määritä raja-arvo lim_xx/(ln x)^p (p

) pitämällä tunnettuna raja-arvoa lim_te^t /t^p =

.

Tehtävä 112

Määritä raja-arvo lim_x0+x(ln x)^p (p

) pitämällä tunnettuna raja-arvoa lim_te^t /t^p =

ja sijoittamalla tähän t = - ln x.

Tehtävä 113

Määritä raja-arvot

a) lim_x0+x^x, b) lim_x0+x^{x^x}.

Piirrä funktioiden kuvaajat origon oikealla puolella.

Tehtävä 114

Määritä raja-arvo

lim_y ( )
x
1 + --
y ^y.

Tehtävä 115

Määritä raja-arvo

lim_x0 ax---1-
x .

Tehtävä 116

Olkoot a ja b positiivilukuja. Määritä raja-arvo

lim_n- ( )
an - 1
-------
an .

Tehtävä 117

Määritä ne muuttujan x arvot, joilla käyrän y = ln(1 + e^x) ja sen asymptootin ordinaattojen erotus on < ln(1 + e^-3).

Tehtävä 118

Tutki, millainen xy-tason joukko on { (x, y) | log_xy = log_yx }. Piirrä kuvio.

Tehtävä 119

Osoita: a) log_ab^. log_ba = 1, b) log_ba^. log_cb = log_ca.

Tehtävä 120

Olkoon a > 1. Todista: 1
2

1
2

(log_ax + log_ay) < log_a [1(x + y)]
2

[1(x + y)]
2

.

Tehtävä 121

Vuotuinen korkoprosentti on 5 ja korko lisätään pääomaan a) jatkuvan koronkoron mukaisesti, b) puolivuosittain. Mikä on eri tavoin saatujen pääomien suhde yhden vuoden kuluttua?

Tehtävä 122

Pankkilainan vuotuinen korko on 12 % ja korko maksetaan kerran vuodessa. Laman syvetessä pankki joutuu nostamaan korkoa. Poliittisista syistä korkoprosenttia ei voida nostaa, vaan siirrytään järjestelmään, jossa kertynyt korko kuukausittain liitetään lainapääomaan, minkä jälkeen myös se alkaa kasvaa korkoa. Kuinka monta prosenttia vuosittain kertyvä korko tällöin kasvaa? Selvitä rajaprosessilla, kuinka suureen vuotuisen koron kasvuun on mahdollista päästä, jos kertyvä korko alkaa kasvaa korkoa heti syntyessään.

Tehtävä 123

Radioaktiivisen aineen hajoamisessa ainemäärä noudattaa eksponentiaalista vähenemislakia

m(t) = m₀e^-t,

missä t on aika vuosissa, aineelle ominainen vakio ja m₀ alkuperäinen ainemäärä. Määritä puoliintumisaika, so. aika, jossa ainemäärä vähenee puoleen, kun = 0.02.

4.4 Trigonometriset funktiot

Tehtävä 124

Tutki, onko yhtälöllä sin(cos x) = cos(sin x) ratkaisuja. Piirrä sopivat kuvaajat ja selvitä asia myös päättelemällä.

Tehtävä 125

Määritä seuraavat raja-arvot:

	a) lim_x0,		b) lim_x0,		c) lim_xx sin ,
	d) lim_x0,		e) lim_x0,		f) lim_xa.

4.5 Trigonometrian kaavoja

Tehtävä 126

Laadi taulukko, jossa funktiot sin x, cos x, tan x ja cot x ovat lausutut toistensa avulla.

Tehtävä 127

Olkoon sin

= 7/25 ja cot

= -5/12. Laske lausekkeen sin(

-

) mahdolliset arvot.

Tehtävä 128

Osoita, että kolmion kulmat toteuttavat yhtälöt

	a) sin + sin + sin = 4 cos cos cos ,
	b) tan + tan + tan = tan tan tan ,
	c) cos ² + cos ² + cos ² = 1 - cos cos cos .

Tehtävä 129

Ratkaise seuraavat trigonometriset yhtälöt:

	a) sin2x = cos 7x,		b) tan 2x = 3 tan x,		c) cos 2x = sin x + cos x,
	d) 4 sin ² x = tan x,		e) \| sin x + \| sin x\|\| = cos x + \| cos x\|.

Tehtävä 130

Ratkaise seuraavat trigonometriset epäyhtälöt:

a) sin |x| < | sin x|, b) | sin 2x| > | sin 3x|, c) sin 4x > cot x - tan x.

Tehtävä 131

Ratkaise yhtälöparit

a) 1-
{ cos3x cos2y = 2
p
3x - 2y = --
3 , b) {
sin x cosy = 1 + siny cosx
V~ --
tan(x + y) = 3 .

Tehtävä 132

Missä xy-tason osissa on voimassa sin(x - y) + cos x > 0 ?

Tehtävä 133

Määritä raja-arvo

lim_x sin(x - p)
--------3--
1- 2 cosx .

Tehtävä 134

Olkoon f(x) = sin ²x + x. Määritä jokin luku

> 0 siten, että

|x₁ - x₂| < ===> |f(x₁) - f(x₂)| < -1--
100 .

Miten tehtävä liitty funktion f jatkuvuuteen?

4.6 Harmoninen värähtely

Tehtävä 135

Saata kahden sinivärähtelyn summa a) sin 3x + sin 5x, b) sin 10x + sin 9x muotoon A cos

x sin

x, mikä voidaan tulkita muuttuva-amplitudiseksi sinivärähtelyksi amplitudina A cos

x. Piirrä värähtelyn kuvaaja sekä samaan kuvioon amplitudikäyrän kuvaaja.

Tehtävä 136

Piirrä funktion y = sin 10x + sin 9x kuvaaja. Piirrä myös funktion y = 2 cos x
2

x
2

kuvaaja samaan kuvioon. Miten em. funktiot suhtautuvat toisiinsa? Laske yhteys trigonometrisesti.

Tehtävä 137

Kaksi eritaajuista, mutta sama-amplitudista sinivärähtelyä yhdistetään: y(t) = sin 10t + sin(9t +

/2). Saata värähtely muotoon y(t) = A cos(

₁t +

₁) sin(

₂t +

₂). Piirrä värähtelyn kuvaaja. Mikä tulkinta voidaan antaa yhdistetyn värähtelyn tekijälle A cos (

₁ t +

₁)?

Tehtävä 138

Osoita, että y = sin ²x - 1
2

1
2

esittää harmonista värähtelyä. Määritä amplitudi, frekvenssi ja vaihe.

Tehtävä 139

Vaihtovirran kolmen eri vaiheen jännitteet ovat sama-amplitudisia ja samataajuisia sinivärähtelyjä, joiden vaihe-ero on 2

/3:

V_i (t) = V₀ sin(t + _i), i = 1, 2, 3; ₂ = ₁ + 2p
---
3 , ₃ = ₁ + 4p
---
3 .

Mikä on jännitteiden summa?

Tehtävä 140

Määritä harmonisen värähtelyn

y = sin x + 2 sin(x + 2p
3 ) + 3 sin(x + 4p
3 )

amplitudi ja vaihekulma. Piirrä komponenttivärähtelyjen ja summan kuvaajat.

Tehtävä 141

Määritä värähtelyn y = A sin

x + A sin(

x +

) amplitudi, kun vaihe-ero on a)

=

/2, b)

=

, c)

= 2

.

Tehtävä 142

Mikä on värähtelyn sin 5x + sin 7x amplitudikäyrän jakso? Montako värähdystä mahtuu jaksolle? Mikä on värähtelyn jakso? Piirrä kuvio.

4.7 Trigonometristen funktioiden käänteisfunktiot

Tehtävä 143

Laske tarkat arvot lausekkeille

a) sin( arc cos (- 3-
5 )),    b) cos( arc sin(- 3-
5 )),    c) sin( arc tan(- V~ --
3 )),    d) sin( arc cot(- V~ --
3 )).

Tehtävä 144

Laske tarkat arvot lausekkeille

a) sin( -
arc tan 2 - ---
arc tan 3), b) cos( ---
arc cot 2-
5 + ---
arc tan 3-
7 ), c) tan( ---
arc sin 1-
2 - ---
arc cos 2-
3 ).

Tehtävä 145

Mitä arvoja lauseke arccos(cos 13

/4) voi saada?

Tehtävä 146

Ratkaise yhtälöt a) arc

arc

tan x =

/4 -

arc

tan 3, b) arc

arc

cos x =

arc

tan 1 +

arc

cos(-3/4).

Tehtävä 147

Piirrä käyrä arc

arc

tan x +

arc

tan y =

/4.

Tehtävä 148

Määritä harmonisten värähtelyjen

a)	y = sin x + sin(x - tan ),
b)	y = sin(x + tan ) + 2 sin(x + ) + sin(x - )

amplitudi ja vaihekulma. Piirrä kuvaajat.

Tehtävä 149

Lisäämällä harmoniseen värähtelyyn y₁ = 2 sin(

x +

arc

tan 2

V~ 2-

) sopivasti valittu harmoninen värähtely y₂, jonka kulmataajuus on myös

, saadaan summaksi värähtely y = 6 sin

x. Mikä on värähtelyn y₂ amplitudi?

Tehtävä 150

Sievennä seuraavat lausekkeet ja piirrä kuvaajat:

	a) y = tan(tan x),		b) y = tan ,
	c) y = tan ,		d) y = sin(2 tan x),
	e) y = y = tan x + tan ,		f) y = 2 tan x + sin .

Tehtävä 151

Tutki graafisesti kaavan

2 ---
arc sin x = ---
arc cos(1 - 2x²)

voimassaoloa. Millä muuttujan arvoilla funktiot ovat määriteltyjä?

Tehtävä 152

Tutki kaavan

2 arc sin x = arc cos(1 - 2x²)

voimassaoloa käyttäen sijoitusta x = sin t, - < t < .

Tehtävä 153

Tutki kaavan

---
arc tan x + ---
arc tan y = ---
arc tan x + y
-------
1 - xy , xy1,

voimassaoloa. Siirrä kaavassa kaikki termit samalle puolen yhtäläisyysmerkkiä ja piirrä vastaava pinta z = f(x, y).

4.8 Hyperboliset funktiot

Tehtävä 154

Osoita, että hyperbolisille funktioille pätee kaava

(cosh x + sinh x)ⁿ = cosh nx + sinh nx.

Millainen luku voi n olla?

Tehtävä 155

Osoita, että yhtälöllä cos x cosh x + 1 = 0 on äärettömän monta reaalijuurta.

4.9 Hyperbolisia kaavoja

Tehtävä 156

Johda kaavat, joissa sinh(x/2) ja cosh(x/2) lausutaan funktion cosh x avulla.

Tehtävä 157

Johda hyperbolisille funktioille kaavat

	sinh x + sinh y = . . . ,		sinh x - sinh y = . . . ,
	cosh x + cosh y = . . . ,		cosh x - cosh y = . . .

samalla tavoin kuin vastaavat kaavat johdetaan trigonometrisille funktioille. Onko kaavoissa merkkieroja?

4.10 Hyperbolisten funktioiden käänteisfunktiot

Tehtävä 158

Laske logaritmin avulla tarkka arvo lausekkeelle

cosh

V~ --
2

.

Tehtävä 159

Laske tarkat arvot funktioille cosh x ja tanh x, kun x = arsinh 4
3

4
3

.

Tehtävä 160

Osoita, että

arcosh x = ln(x ± V~ -2-----
x - 1 ) = ± ln(x + ).

Millä arvoilla x kaava on pätevä?

Tehtävä 161

Millä arvoilla funktio f(x) =

cosh(coth(ln x)) on määritelty? Sievennä funktion lauseke ja piirrä sen kuvaaja.

Tehtävä 162

Lausu funktio f(x) = arsinh V~ -------
x2 - 1

V~ -------
x2 - 1

logaritmifunktion avulla. Millä muuttujan reaaliarvoilla funktio on määritelty? Miten funktio suhtautuu funktioon -
ar

-
ar

coshx? Piirrä funktion kuvaaja.

Tehtävä 163

Sievennä lausekkeet a) tanh(

cosh x), b) artanh V~ -x--
x2+1

V~ -x--
x2+1

.

Sisällysluettelo