Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo

6 Derivaatta

6.1 Derivaatta ja differentiaali

Tehtävä 172
Olkoon f(x) = x4. Etsi derivaatan määritelmän avulla f'(-3).

Vastaus

Tehtävä 173
Muodosta funktion f(x) = V~ x- derivaatta suoraan määritelmän mukaan, so. tarkastelemalla erotusosamäärän raja-arvoa.

Tehtävä 174
Todista: Jos f on derivoituva kohdassa a ja c on vakio, niin cf on derivoituva kohdassa a ja d --- dx(cf) = cdf --- dx.

Tehtävä 175
Todista: d-- dx xn = nxn-1 kaikilla x (- R, n (- N.

Tehtävä 176
Osoita esimerkillä, että f + g voi olla kaikkialla derivoituva, vaikka funktioilla f ja g ei ole millään muuttujan arvolla derivaattaa.

Tehtävä 177
Funktio f on määritelty välillä ] - 1, 1[ ja derivaatta f' on olemassa pisteessä x = 0 (mutta ei välttämättä muualla). Määritä tarkasti perustellen

limx-->0f(x2) - f(- x2) ------x2--------.

Vastaus

Tehtävä 178
Funktio f toteuttakoon eräässä origon ympäristössä epäyhtälön |f(x)| < x2. Todista, että f'(0) on olemassa ja määritä sen arvo.

Vastaus

Tehtävä 179
Olkoon f(x) = x3. Määritä sup S, kun

S = { | | } |Df ' | 1 d > 0 ||Dx |< d ===> ||----- f (a)||< ---- Dx 100

ja a) a = 0,   b) a = 1,   c) a = 3. Miten tehtävä liittyy derivaatan määritelmään?

Vastaus

Tehtävä 180
Olkoon f(0) = 0 ja f'(0) = 2. Todista, että on olemassa d > 0 siten, että 0 < |x| < d ===> 1 < f(x)/x < 3.

Tehtävä 181
Oletetaan, että f'(a) on olemassa. Määritä seuraavat raja-arvot:

a)   limh-->0f(a + h2) - f(a - h) --------------------- h,     b)   limx-->axf (a)- af(x) -------------- x- a.

Vastaus

Tehtävä 182
Olkoon f''(a) olemassa. Määritä

limt-->0f'(a + at)- f'(a + bt) ----------------------- t.

Vastaus

Tehtävä 183
Muodosta funktion f(x) = 1/x2 differentiaali ja korjaustermi pisteessä x = 2. Totea, että korjaustermin e-funktiolla on vaadittu raja-arvo-ominaisuus.

Tehtävä 184
Muodosta funktion f lisäys Df = f(x + h) - f(x), vastaava differentiaali df(x, h) ja korjaustermi he(x, h), kun

a) f(x) = x3,     b) f(x) = 3x2 - 5x + 2,     c) f(x) = -2x--- 5 + x,     d) f(x) = -1- x2.

Tarkista, onko e-funktiolla derivoituvuudessa vaadittu raja-arvo-ominaisuus.

Vastaus

Tehtävä 185
Laske differentiaalin avulla likiarvo luvulle a)  V~ 217-, b)  V~ 3727-, c)  V~ 6730-, d)  V~ 0.039. Määritä oikaisun itseisarvolle likimääräinen yläraja. Saadaanko ylä- vai alalikiarvo?

Vastaus

Tehtävä 186
Olkoon

f(x) = x2- 2 ------- x + 3.

Laske differentiaalin avulla likiarvo luvulle f(7.005). Montako oikeaa desimaalia on vastauksessa?

Vastaus

Tehtävä 187
Laske likiarvo luvulle V~ 90- valitsemalla a)  x = 81 ja Dx = 9, b) x = 100 ja Dx = -10. Vertaa tulosta oikeaan 4-desimaaliseen likiarvoon 9.4868.

Vastaus

Tehtävä 188
Osoita differentiaalikehitelmää käyttäen, että funktio f(x) = 3 + V~ 3(x----2)2 ei ole differentioituva kohdassa x = 2.

6.2 Derivoimissääntöjä

Tehtävä 189
Derivoi seuraavat funktiot:

a)  (x2 + 2x + 1)(x2 - 2x + 1),      b)  (4x + 1)2(x2 - 2)3,      c)   x2 ---------2- 1- x + x,
d)  (x-a)(x---b) x- c,      e)  x-+-x--1 x - x -1,      f)  ( ) 1-+-x2- 1 + x 5.

Vastaus

Tehtävä 190
Olkoon

f(x) = (a2 + x2)3 ------3-2- (b - x ).

Määritä derivaatan f'(x) nollakohdat.

Vastaus

Tehtävä 191
Määritä f(n)(x), kun f(x) on

a)  f(x) = --1--- 1 - x,     b)  f(x) = 1---x- 1 + x,     c)  f(x) = ----a---- (b + cx)2.

Vastaus

Tehtävä 192
Polynomilla p(x) = x3 + ax2 + bx + c on nollakohta, joka on myös sen derivaattojen p' ja p'' nollakohta. Osoita, että p on erään polynomin kuutio.

Vastaus

Tehtävä 193
Osoita, että jos (x - c)2 on polynomin p(x) tekijä, niin p'(c) = 0. Etsi sellaiset luvut a, että polynomilla x3 + 8x2 - 44x + a on kaksinkertainen nollakohta.

Vastaus

Tehtävä 194
Funktion x3 + ax2 + bx + c derivaatta häviää, kun x = -1 ja funktion kuvaaja on symmetrinen origon suhteen. Määritä a, b ja c.

Vastaus

Tehtävä 195
Olkoot f ja g kolmesti derivoituvia ja w(x) = f(x)g(x). Laske w''(x) ja w''' (x).

Vastaus

Tehtävä 196
Piirrä funktion y = f(x) kuvaaja, etsi käänteiskuvauksen x = g(y) lauseke ja piirrä kuvaaja seuraavien funktioiden tapauksissa; laske myös f'(x0) ja g'(y0) annetuissa pisteissä. Miten derivaattojen arvot sopivat yhteen käänteisfunktion derivaattaa koskevan lauseen kanssa?

a)  f(x) = 1 - 3x,  x0 = 2,  y0 = -5,      b)  f(x) = 1 ------ 1 - x,  x0 = 1 -- 3,  y0 = 3 -- 2,
c)  f(x) = 1---x- 1 + x,  x0 = -4,  y0 = -5- 3,      d)  f(x) = 3x-+-5- x- 7,  x0 = 8,  y0 = 29.

Vastaus

Tehtävä 197
Derivoi seuraavat funktiot:

a)  x V~ --- 1- x2,      b)   V~ --------- V ~ - V~ -- x x x,      c)   V~ -------------- V~ ---- V~ -- x + x + x,      d)   V~ ----------- 4 (2x2 - x3)3,
e)  x--- V~ a2-x2-,      f)   V~ -- 1-+---x- 1 - V~ x-,      g)   V~ ------- a-+-bx- a - bx.

Vastaus

Tehtävä 198
Määritä funktion y = x2 - 4x - 3 käänteiskuvauksen ylemmän haaran derivaatta arvolla y = 2 a) käänteisfunktion derivoimissäännön avulla, b) määrittämällä käänteiskuvauksen lauseke.

Vastaus

Tehtävä 199
Piirrä funktion y(x) = x4 - 2x2 - 1 kuvaaja. Millä reaaliakselin alueilla funktiolla on käänteisfunktio x(y)? Piirrä käänteisfunktioiden kuvaajat ja etsi niiden lausekkeet. Laske derivaatat y'(3) ja x'(62). Miten nämä suhtautuvat toisiinsa? Miksi?

Vastaus

Tehtävä 200
Olkoon s = s(t) derivoituva funktio siten, että t = f(s). Lausu s'(t) muuttujan s avulla, kun a) f(s) = 3 - 2s + s3,   b) f(s) = 1-s4 s+s4.

Vastaus

Tehtävä 201
Olkoon f'(x) = f(x) kaikilla x (- R. Todista, että jos g(y) on funktion f käänteisfunktio, niin g'(y) = 1 y. Älä käytä hyväksi tietoa, että f itse asiassa on muotoa f(x) = Cex , C vakio.

Vastaus

Tehtävä 202
Funktio f olkoon funktion g käänteisfunktio, jolloin f(x) = y <====> g(y) = x. Olkoon g kahdesti derivoituva ja g'(y)/=0. Osoita:

f''(x) = -g''(y) -'---3 g (y).

Johda vastaava kaava derivaatalle f'''(x) olettaen, että g on kolmesti derivoituva.

Vastaus

Tehtävä 203
Olkoon y = y(x) kahdesti derivoituva funktio siten, että a) x3 + y3 = 1, b) y2 - 2xy + b2 = 0, c) x4 + y4 = x2y2, d) x4y4 = x4 + y4. Lausu y''(x) muuttujan x ja funktion y avulla.

Vastaus

6.3 Alkeisfunktioiden derivaatat

Tehtävä 204
Johda funktion --- arctan derivaatan lauseke lähtemällä tangentin derivaatasta.

Tehtävä 205
Johda funktioiden arsinh x ja -- arcosh x derivaatat käänteisfunktion derivoimissääntöä käyttäen.

Tehtävä 206
Derivoi funktiot

a) e V~ x ,     b)  V~ --------- x(ex + 1).

Vastaus

Tehtävä 207
Hermiten polynomit määritellään seuraavasti:

Hn(x) = ex2 dn dxn-e-x2 ,   n = 0, 1, 2, . . .  .

Laske H0 (x), H1(x), H2(x) ja H3(x). Osoita, että näillä on ominaisuudet

a) Hn+1 (x) + 2xHn(x) + 2nHn-1(x) = 0,     b) Hn(x) = H'n-1(x) - 2xHn-1(x).

Tehtävä 208
Osoita, että funktio

y = e-at 2m sin (V ~ ---------- ) k a2 --- ---2 t m 4m

toteuttaa differentiaaliyhtälön

md2y --2- dt + ady --- dt + ky = 0.

Tehtävä 209
Derivoi seuraavat funktiot:

a)  ln V~ ------ a-+-x- a - x,     b)  ln(ln x),     c)  ln(x + V~ ------- 1 + x2).

Vastaus

Tehtävä 210
Olkoon z(x) = ln y(x), missä y(x) on yhtälön x = ey + y määrittelemä funktio. Laske z'(e + 1).

Vastaus

Tehtävä 211
Olkoot f ja g kaksi kahdesti derivoituvaa funktiota, jotka toteuttavat identiteetin

af(x)g(x) + bf(x) + cg(x) + d =_ 0,

missä a, b, c ja d ovat vakioita. Olkoot lisäksi f, sen derivaatta f' ja vakiot a ja c positiivisia. Osoita, että jos vakiot täyttävät sopivan ehdon, niin

D ln f'(x) -'--- g(x) = k V~ ---------- f '(x)g'(x),

missä k on vakio. Mikä on ehto ja mikä on vakio k?

Vastaus

Tehtävä 212
Derivoi funktiot

a) a-1/x,     b) atan x,     c)  logxa,     d)  log2(log3(ln x)).

Vastaus

Tehtävä 213
Derivoi funktiot

a) xx,     b) x1/x,     c) xln x,     d) xxx ,     e) (xx)x,     f) axxa.

Vastaus

Tehtävä 214
Piirrä käyrä xy = yx. Laske y' implisiittisellä derivoinnilla.

Vastaus

Tehtävä 215
Derivoi seuraavat funktiot:

a)  cos n( ) a- x ,     b)  V~ -------- V~ -- sin 1- x,     c)  cot 3 V~ 1-+--x2-,     d)  cos 2 V~ -- 1--- V~ -x 1 + x.

Vastaus

Tehtävä 216
Derivoi funktio cos xesin x.

Vastaus

Tehtävä 217
Derivoi funktiot

a)  ln cos V~ -- 1 -- x,     b) x[sin(ln x) + cos(ln x).

Vastaus

Tehtävä 218
Määritä funktion

f(x) = -27-- sin x + --64- cos x

arvo sellaisissa välin ]0, p/2[ pisteissä, missä f'(x) = 0.

Vastaus

Tehtävä 219
Millä muuttujan arvoilla funktio

f(x) = { x2cos --1--, kun x /= 0, x /= 1, x(1-x) 0, kun x = 0, x = 1

on derivoituva?

Vastaus

Tehtävä 220
Lausu implisiittisen derivoinnin avulla y'(x) muuttujien x ja y funktiona, kun a) y + x = sin y cos x,   b) yx = sin y + cos x.

Vastaus

Tehtävä 221
Yhtälö y = sin(x + ay), missä a/= - 1, määrittelee funktion y = y(x) sen pisteen ympäristössä, missä yhtälön kuvaaja leikkaa positiivisen x-akselin lähinnä origoa. Määritä funktion derivaatta tässä pisteessä. Piirrä kuvaaja.

Vastaus

Tehtävä 222
Derivoi funktio

f(x) = 2 --- arctan x + --- arcsin -2x---- 1 + x2.

Millä muuttujan arvoilla derivaatta on = 0? Piirrä funktion kuvaaja.

Tehtävä 223
Derivoi funktiot

a) - arccos1 x,      b)  --- arcsin V~ -----4- 1 - x,      c)  --- arccos b + acos x a-+-bcos-x,
d) x V~ 1-x2+ --- arccos x,     e) -1--- V~ ab --- arctan (V ~ -- ) -b a tan x ,     f) (x2 - 2) --- arcsin x- 2 + x- 2 V~ -----2 4 - x.

Vastaus

Tehtävä 224
Määritellään funktio f : R --> R asettamalla f(x) = x2 sin 1 x, kun x/=0, ja f(0) = limx-->0f(x). Onko funktio jatkuva? Laske funktion derivaatta origossa. Osoita, että derivaattafunktio f' ei ole jatkuva origossa.

Tehtävä 225
Osoita, että funktio

y(x) = C1 sin x + C2 cos x + cos x ln || (p x )|| |tan --- -- | 4 2

toteuttaa differentiaaliyhtälön y'' + y = tan x. Luvut C1 ja C2 ovat vakioita.

Tehtävä 226
Derivoi funktiot

a)  ln(cosh x),     b)  arctan(tanh x),     c)  tanh(ln x).

Vastaus

Tehtävä 227
Derivoi funktiot

a) arsinh ex,     b)  -- arcosh 1- x,     c) 2 artanh(tan x- 2),     d)  arcoth V~ -----4- 1 + x.

Vastaus

6.4 Derivaatan ominaisuuksia

Tehtävä 228
Osoita derivoimalla, että funktioiden

5x---9- x + 3  ja   - 2(x-+-15)- x + 3

erotus on vakio. Mikä on vakion arvo?

Vastaus

Tehtävä 229
Olkoon f derivoituva välillä I. Osoita, että derivaatan f' kahden peräkkäisen nollakohdan välissä voi olla korkeintaan yksi funktion f nollakohta.

Tehtävä 230
Olkoon p polynomi, jonka nollakohdat ovat reaaliset. Todista, että derivaattapolynomin p' nollakohdat ovat myös reaaliset.

Tehtävä 231
Määritä väliarvolauseessa esiintyvä q funktiolle a)  V~ - x välillä [36, 49];   b) Ax2 + Bx + C välillä [a, b].

Vastaus

Tehtävä 232
Määritä väliarvolauseessa esiintyvä q funktiolle

Ax + B Cx--+-D-,

välillä [a, b], joka ei sisällä epäjatkuvuuskohtaa x = -DC-. Oletetaan AD - BC/=0,  C/=0.

Vastaus

Tehtävä 233
Käyrän y = x4 pisteiden (-1, 1) ja (t, t4) kautta asetetaan suora. Väliarvolauseen mukaan on käyrällä piste (c, c4), jossa tangentti on mainitun suoran suuntainen. Tässä c = c(t). Määritä c(t) ja c'(t), kun a) t = 0, b) t = 1.

Vastaus

Tehtävä 234
Funktio f olkoon jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva arvolla x0 (- ]a, b[. Näytä, että on olemassa luku M > 0 siten, että

x (- [a, b] ===> |f(x) - f(x0)| < M|x - x0|.

Tehtävä 235
Olkoon f jatkuva välillä [a, b] ja derivoituva samalla välillä paitsi mahdollisesti arvolla x0 (- [a, b]. Todista, että jos limx-->x0f'(x) on olemassa ja on = A, niin f' (x0) on olemassa ja on = A.

Tehtävä 236
Olkoon f derivoituva suljetulla välillä [a, b] ja f'(a) = A sekä f'(b) = B. Todista, että jos C on lukujen A ja B välissä oleva arvo, niin on olemassa arvo c (- ]a, b[ siten, että f' (c) = C.

Tehtävä 237
Osoita:

0 < a < b ===> 1 - a -- b < ln b -- a < b -- a - 1.

Vastaus

Tehtävä 238
Todista, että jos p > 0, niin yhtälöllä x3 + px + q = 0 on vain yksi reaalijuuri.

Tehtävä 239
Olkoon f joukossa R+ positiivinen, aidosti kasvava ja derivoituva. Näytä, että myös funktio g(x) = [f(1/x)]-1 on joukossa R+ aidosti kasvava.

Vastaus

Tehtävä 240
Määritä

inf { } x - 1 a |x > a ===> ln x > ------ x + 1 .

Vastaus

Tehtävä 241
Osoita, että a) funktio 2 ln x + x2 - 4x + 1 on kasvava, b) funktio 1- x + ln x - x on vähenevä.

Tehtävä 242
Olkoon a (- [0, 1[ vakio. Todista:

x (- [a, 1] ===> arcsin x < p- 2 - V~ 1---x- 1- a2.

Tehtävä 243
Todista: --- arctan x > x - 1 3x3 kaikilla x > 0.

Tehtävä 244
Määritä ne positiiviluvut a, joilla yhtälöllä x + a sin x - 2 = 0 on ratkaisu välillä [0, p/2].

Vastaus

Tehtävä 245
Tutki seuraavien funktioiden ääriarvoja:

a)  y = x3 - 2ax2 + a2x,      b)  y = x + a2- x,
c)  y = x + V~ ------ 1 - x,      d)  y = x V~ -----2- 2- x.

Vastaus

Tehtävä 246
Määritä seuraavien funktioiden ääriarvot ja piirrä kuvaajat:

a) | sin x| + cos x,      b)  cos(sin x),      c)  1 +-sin-x- 1- cos x,
d) sin x + cosx ------------ sin xcos x,      e)  sin2x ---------- 1 + cos2x.

Vastaus

Tehtävä 247
Määritä seuraavien funktioiden ääriarvot ja piirrä kuvaajat:

a) y = x1-ln x,     b) y = xe1/x,     c) y = (x - 1)x-1.

Vastaus

Tehtävä 248
Määritä funktion y = 4 tanh x + coth x ääriarvot. Piirrä kuvaaja.

Vastaus

Tehtävä 249
Tutki funktiota f(x) = xx, x > 0. Määritä ääriarvot, piirrä kuvaaja.

Tehtävä 250
Tutki, onko funktiolla f(x) = (1 - ex)7(1 - x)13 suhteellista ääriarvoa origossa. Piirrä funktion kuvaaja.

Vastaus

Tehtävä 251
Olkoot kaikkialla jatkuvan funktion ääriarvot oleellisia. Osoita, että maksimit ja minimit esiintyvät vuorotellen.

Tehtävä 252
Olkoot käyrät y = f(x) ja y = g(x) alaspäin kuperia välillä [a, b]. Todista, että käyrä y = f(x) + g(x) on alaspäin kupera mainitulla välillä.

Tehtävä 253
Määritä käyrän

y = x + 1 --2---- x + 1

ääriarvopisteet ja käännepisteet. Millä muuttujan arvoilla käyrä on alaspäin, millä ylöspäin kupera? Piirrä kuvaaja.

Tehtävä 254
Tutki seuraavien käyrien kuperuutta ja määritä käännepisteet:

a)  y = x + 36x2 - 2x3 - x4,      b)  y = (x2 - 6x)5,      c)  y = -x-+-1- x2 + 1,
d)  y = 3 ---x----- x2 + 3a2,      e)  y = a - V~ ------ 3 x - b.

Vastaus

Tehtävä 255
Määritä käyrän y = sin 4x ääriarvo ja käännepisteet.

Vastaus

Tehtävä 256
Määritä käyrien a) y = xe-x,   b) y = e2x sin 2x ääriarvo- ja käännepisteet. Piirrä kuvaajat.

Vastaus

Tehtävä 257
Määritä käyrältä

y = e(x-1)2

pisteet, joiden etäisyydellä pisteestä (1, a) on ääriarvo. Määritä ääriarvojen lukumäärä ja laatu parametrin a eri arvoilla.

Vastaus

Tehtävä 258
Millä vakioiden a ja b arvoilla piste (1, 3) on käyrän y = ax3 + bx2 käännepiste?

Vastaus

Tehtävä 259
Olkoon kaikkialla kahdesti derivoituva funktio f kasvava ja alaspäin kupera. Osoita, että funktio g(x) = f(x2) on alaspäin kupera.

Tehtävä 260
Osoita, että käyrän y = 12- 5a4x5 - 6a3x4 + 4a2x3 käännepisteet ovat samalla suoralla. Määritä tämän suoran yksikkösuuntavektori.

Tehtävä 261
Millä vakion a arvoilla käyrällä

y = x- a -------2 (x + a)

on käännepisteitä? Määritä myös ääriarvopisteet ja asymptootit ja piirrä kuvaaja.

Vastaus

Seuraava lukuEdellinen lukuSisällysluettelo