4 Vektoriarvoiset funktiot

4.1 Differentioituvuus

Tehtävä 127

Olkoot f : ^{n p} ja g : ^{n p} differentioituvia funktioita. Todista differentiaalikehitelmää käyttäen, että myös summa f + g on differentioituva ja

d(f + g) = df + dg.

---

Tehtävä 128

Laske seuraavien vektorimuuttujan vektoriarvoisten funktioiden Jacobi’n matriisit:

a) f(x, y, z) = (,  2y + 1,  xz²),     b) f(x, y, z) = (xe^-yz,  + ,  z²).

Vastaus

---

Tehtävä 129

Etsi vektorimuuttujan vektoriarvoisen funktion

f(x, y, z) = (x² + yz,  2ze^x,  x ln y)

Jacobi’n matriisi. Laske funktion differentiaali pisteessä (0, 1, -2), kun x = y = z = 0.1.

---

Tehtävä 130

Linearisoi funktio f : ^{2 2}, f(x, y) = (x³y⁵ - 1,  x⁷ + y⁷ - 5), ts. laske sen differentiaali.

Vastaus

---

Tehtävä 131

Funktiot f : ^{n n} ja g : ⁿ määritellään seuraavasti:

f(x) = x + ,     g(x) = x^Tx.

Määritä funktioiden derivaatat, so. Jacobi’n matriisit.

Vastaus

---

Tehtävä 132

Käänteissäteinen muunnos (eli inversiokuvaus) on kuvaus ² \ {(0, 0)} ², missä pisteen P kuvaksi asetetaan piste P ', joka sijaitsee samalla origosta lähtevällä säteellä kuin P siten, että pisteiden origosta mitattujen etäisyyksien tulo on = 1. Muodosta kuvauksen komponenttifunktiot sekä laske Jacobi’n matriisi ja tämän determinantti.

Vastaus

---

Tehtävä 133

Olkoon r avaruuden E³ paikkavektori, r tämän pituus ja r⁰ = r/r vastaava yksikkövektori. Osoita:

a) dr = r^0 . dr,     b) r d(r⁰) = dr - (r^0 . dr)r⁰.

---

4.2 Ketjusääntö

Tehtävä 134

Olkoon annettuna funktiot f : ^{2 3} ja g : G ³ :

f(x, y) = (xy,  x + y,  xe^y),   g(x, y, z) = (y² - 2x) ln z.

Laske yhdistetyn funktion h : ² , h = gof, osittaisderivatta h_xy(1, 0) ketjusäännön avulla.

---

Tehtävä 135

Käyrät c₁ ja c₂ leikkaavat toisensa pisteessä P kulmassa, jonka suuruus on . Käyrät kuvataan käänteissäteisellä muunnoksella, jolloin saadaan käyrät d₁ ja d₂; nämä leikkaavat toisensa pisteen P kuvapisteessä P '. Osoita, että myös kuvakäyrät leikkaavat toisensa kulmassa .

---

Tehtävä 136

Olkoot avaruuden E³ vektorit a ja b lineaarisesti riippumattomia. Määritellään reaaliarvoinen funktio f asettamalla

f(r) = ,   b ^. r0.

Määritä f ja osoita, että funktion f derivaatta vektorin a × b suuntaan on = 0.

---

Tehtävä 137

Avaruudessa ⁿ määriteltyä reaaliarvoista funktiota f kutsutaan p-asteiseksi homogeenifunktioksi, jos

f(x) = ^pf(x),     ,  x ⁿ.

Todista, että jos tällainen funktio on differentioituva, niin sille pätee Eulerin homogeenifunktiolause:

(grad f(x))x = pf(x).

---

4.3 Newtonin menetelmä

Tehtävä 138

Millainen kaksiulotteinen Newtonin menetelmä saadaan differentiaalin avulla yhtälöryhmän

ratkaisemiseen? Esitä iteraatiokaava matriisimuodossa.

---

Tehtävä 139

Tutki, missä pisteissä Cartesiuksen lehden x³ + y³ = 3xy tangentin suuntakulma johonkin koordinaattiakseliin nähden on 45^o. Muodosta tarvittava yhtälöryhmä ja ratkaise se kaksiulotteisella Newtonin iteraatiolla.

Vastaus

---

Tehtävä 140

Muodosta Newtonin menetelmän mukainen matriisimuotoinen iteraatiokaava yhtälöparille

Etsi tämän avulla yksi yhtälöparin kaikkiaan neljästä (reaalisesta) ratkaisusta.

---

Tehtävä 141

Etsi yhtälöryhmän

lähinnä origoa oleva ratkaisu kaksiulotteisella Newtonin iteraatiolla. Valitse lähtöarvoiksi x₀ = -1, y₀ = -0.5.

---

Tehtävä 142

Kokeile edellisen tehtävän yhtälöryhmän ratkaisemista valitsemalla jokin toinen lähtövektori. Saatko iteraation suppenemaan jotakin muuta juurta kohti?

---