6 Käänteiskuvaukset ja implisiittifunktiot

6.1 Käänteisfunktion olemassaolo

Tehtävä 165

Määritä jokin piste, jonka ympäristössä funktiolla f :

²,

f(x, y) = (y sin x, x + y + 1)

a) on lokaali käänteisfunktio, b) ei ole. Piirrä näiden pisteiden ympäristöön asetetun neliöruudukon kuva.

Tehtävä 166

Tutki, minkä pisteiden ympäristössä kuvauksella f :

², f(x, y) = (x³ + xy, x²/10 + y), on lokaali käänteiskuvaus. Tarkastele aluetta { (x, y) | -1.5 < x < 1.5, -1 < y < 1 } ja muodosta siihen piirretyn neliöruudukon kuva. Laske funktion f Jacobi’n determinantti. Missä pisteissä tämä on = 0? Miten nämä pisteet kuvautuvat?

Tehtävä 167

Funktio f :

² määritellään asettamalla f(x, y) = ((x + y)³ + ax + ay, x - y). Tutki lokaalin käänteisfunktion olemassaoloa tapauksissa a) a = 3, b) a = -3. Selosta, miten funktio kuvaa xy-tason. Piirrä kuvia.

Vastaus

Tehtävä 168

Laske funktion f :

²,

f(x, y) = (x³ + y³, x³ - y³)

funktionaalideterminantti. Onko funktiolla globaalia käänteisfunktiota? Ratkaise (x, y) yhtälöstä (u, v) = f(x, y).

Vastaus

Tehtävä 169

Funktio f :

², f(x₁, x₂) = (y₁, y₂), olkoon määritelty yhtälöillä

{
y = (x + x )3,
1 1 2 3
y2 = (x1- x2).

Laske funktion f Jacobi’n matriisi (funktionaalimatriisi) pisteessä (x₁, x₂). Osoita, että funktiolla f on käänteisfunktio g ja määritä sen lauseke. Onko funktio g kaikkialla differentioituva? Määritä funktion g Jacobi’n matriisi pisteessä (1, 8).

Tehtävä 170

Olkoon f :

²,

f(x, y) = (e^x cos y, e^x sin y).

Määritä suorakulmion S = { (x, y) | r₁ < x < r₂, 0 < y < 2 } kuva f(S) ja tutki, onko kuvaus f : S --> f(S) injektio. Määritä suurin injektiivisesti kuvautuva origon ympyräympäristö.

Tehtävä 171

Kuvaus f :

²,

f(x, y) = (u, v) = (e^x cos y, e^x sin y),

kuvaa pisteen P (1, /6) erään ympäristön pisteen Q (e V~ --
3 /2, e/2) eräälle ympäristölle bijektiivisesti, jolloin on olemassa lokaali käänteiskuvaus x = g₁(u, v), y = g₂(u, v). Laske funktion h(u, v) = g₁(u, v)g₂(u, v) osittaisderivaatat @h-
@u ja @h-
@v pisteessä Q.

Vastaus

6.2 Implisiittifunktioista

Tehtävä 172

Osoita, että yhtälö x⁶ + 2y⁴ - 3x²y = 0 eräässä pisteen (1, 1) ympäristössä määrittelee funktion y = f(x). Määritä funktion kuvaajan tangentin yhtälö kyseisessä pisteessä.

Tehtävä 173

Määritä Cartesiuksen lehden x³ + y³ = 3xy kaarevuussäde niissä pisteissä, missä käyrä leikkaa suoran y = x.

Tehtävä 174

Yhtälö F (cx - az, cy - bz) = 0, missä F on differentioituva funktio sekä a, b ja c vakioita, määritelköön differentioituvan funktion z = f(x, y). Laske af_x + bf_y.

Tehtävä 175

Osoita, että yhtälö sin(yz) + y²e^z = x määrittelee eräässä pisteen (

²,

, 0) ympäristössä funktion z = f(x, y). Arvioi differentiaalia käyttäen tämän funktion arvo pisteessä (

² + 0.01,

- 0.03).

Tehtävä 176

Funktiot F :

ja G :

olkoot jatkuvasti derivoituvia. Oletetaan, että yhtälöllä

F (x, y, G(y, z)) = 0

on ratkaisu z = f(x, y). Lausu f_x ja f_y funktioiden F ja G osittaisderivaattojen avulla.

Tehtävä 177

Oletetaan, että yhtälö x = f(y, z) määrittelee funktion z = g(x, y) ainakin jossakin tarkastelupisteen (x, y, z) ympäristössä. Lausu derivaatat g_x, g_y ja g_xy funktion f derivaattojen avulla. Oletetaan, että funktio f on riittävän monta kertaa differentioituva.

Tehtävä 178

Osoita, että yhtälö x = z + y sin z eräässä origon ympäristössä määrittelee funktion z = g(x, y). Laske g_xy(0, 0).

Tehtävä 179

Osoita, että yhtälö ye^x + sin(x - y + z) = 0 määrittelee eräässä origon ympäristössä pinnan. Määritä pinnan tangenttitaso origossa.

Tehtävä 180

Osoita, että yhtälöt

x2
---
a2 + y2
---
b2 + z2
---
c2 = 1 ja (x - a)2
---a-2---
(2)2 + y2
--b-
(2)2 = 1

(a, b, c > 0) määrittävät käyrän pisteen ( a
2 , b
2 , c--
V~ 2 ) ympäristössä. Laske tähän pisteeseen asetetun käyrän tangentin ja z-akselin välisen kulman kosini.

Tehtävä 181

Laske funktion f(x, y, z) = xy + cos x + y²z ensimmäisen kertaluvun osittaisderivaatat ja gradientti pisteessä (

/2, 1, -

/2). Mitä gradientti ilmaisee funktiosta f ? Entä pinnasta f(x, y, z) = 0 ? Mitä osittaisderivaattojen avulla voidaan päätellä siitä, määritteleekö yhtälö f(x, y, z) = 0 jossakin em. pisteen ympäristössä funktiot x = x(y, z), y = y(z, x), z = z(x, y) ?

Tehtävä 182

Osoita implisiittifunktiolauseen avulla, että yhtälöt 2x² + 3y² + z² - 47 = 0 ja x² + 2y² - z = 0 määrittävät pisteen (-2, 1, 6) ympäristössä derivoituvat funktiot y = f(x) ja z = g(x). Laske näiden derivaatat pisteessä x = -2.

Tehtävä 183

Tutki, voidaanko yhtälöistä

x + y - z = 1 ja x² + y² - 2z = 0

ratkaista funktiot y = f(x) ja z = g(x) sopivassa pisteen (1, 1, 1) ympäristössä. Mikä on probleeman geometrinen sisältö?

Vastaus

Tehtävä 184

Tutki sopivaa Jacobi’n determinanttia käyttäen, voidaanko yhtälöistä

x + y + z = 1 ja x² + y² + z² = 1

ratkaista funktiot y = f(x) ja z = g(x) sopivassa pisteen ( 1
2 , 1
4 (1 + V~ --
5 ), 1
4 (1 - V~ --
5 )) ympäristössä. Mikä on probleeman geometrinen sisältö?

Tehtävä 185

Osoita, että yhtälöt

y⁵ + xy + z² = 4 ja e^xz = y²

määrittävät jossakin pisteen (3, 1, 0) ympäristössä funktiot x = f(z) ja y = g(z). Laske f' (0) ja g' (0).

Vastaus

Tehtävä 186

Olkoon f differentioituva funktio

ja olkoon (a, b, c) piste, joka toteuttaa yhtälöt

{
f(f (x,y),z) = 0,
f(x, f(y,z)) = 0.

Millä funktion f osittaisderivaattoja koskevalla ehdolla yhtälöt implisiittifunktiolauseen mukaan määrittävät pisteen (a, b, c) ympäristössä funktiot x = u(z) ja y = v(z)? Merkitse osittaisderivaattoja f₁ ja f₂ sekä merkitse myös niiden argumentit näkyviin.

Tehtävä 187

Piste (x₁, . . . , x_n, y₁, . . . , y_p) toteuttakoon yhtälöryhmän

f1(x1, ...,xn,y1,...,yp) = 0,
{
...

fp(x1, ...,xn,y1,...,yp) = 0.

Selosta, millä ehdolla ko. pisteen ympäristössä yhtälöistä voidaan periaatteessa ratkaista riippuvuus

{ y1 = g1(x1,...,xn),
..
.
yp = gp(x1,...,xn).

Sovella teoriaa yhtälöihin x² + y 2
1 - 2y₂ = 0, x + y₁ - y₂ - 1 = 0 pisteen (1, 1, 1) ympäristössä.

Tehtävä 188

Oletetaan, että yhtälö F (x, y, z) = 0 määrittää tarkastelupisteen (x₀, y₀, z₀) eräässä ympäristössä funktiot x = x(y, z), y = y(z, x) ja z = z(x, y). Todista termodynamiikassa tarvittava yhtälö

@x-
@y @y-
@z @z-
@x = -1.

Tehtävä 189

Totea edellisen tehtävän yhtälön

@x-
@y @y-
@z @z-
@x = -1

voimassaolo tapauksessa F (x, y, z) = x³y²z - 1, ts. muodosta funktiot x, y, z, laske näistä tarvittavat osittaisderivaatat ja niiden tulo.

6.3 Sidotut ääriarvot

Tehtävä 190

Etsi pisteen (a, 0) lyhin etäisyys paraabelista y² = 4x käyttämällä Lagrangen kertoimia.

Tehtävä 191

Etsi origon lyhin etäisyys hyperbelistä x² + 8xy + 7y² = 45 käyttäen Lagrangen kertoimia.

Vastaus

Tehtävä 192

Määritä origon suurin ja pienin etäisyys käyrästä

x4
-4-
a + y4
--4
b = 1.

Tehtävä 193

Määritä se ellipsin

x2
--2
a + y2
-2-
b = 1

ensimmäisessä neljänneksessä oleva piste, johon asetettu tangentti muodostaa koordinaattiakseleiden kanssa mahdollisimman pienialaisen kolmion.

Tehtävä 194

Olkoot

kolmion kulmat. Etsi suurin arvo lausekkeelle sin a
2

sin

sin

Tehtävä 195

Puolisuunnikkaan sivut b ja d ovat yhdensuuntaiset, sivut a ja c yhtä pitkät; puolisuunnikkaan ala on annettu. Määritä suhde a : b : c : d siten, että summa a + b + c on mahdollisimman pieni.

Tehtävä 196

Pisteen P

(a, b, c) kaikki koordinaatit ovat positiivisia. Määritä pisteen kautta kulkevan tason ja kaikkien koordinaattitasojen rajoittaman tetraedrin pienin mahdollinen tilavuus.

Tehtävä 197

Suuntaissärmiön särmien pituuksien summa olkoon 12a. Määritä särmiön suurin mahdollinen tilavuus.

Tehtävä 198

Halutaan rakentaa suorakulmaisen särmiön muotoinen laatikko, jonka tilavuus a³ on annettu. Laatikon pohja ja sivuseinät ovat puuta ja kansi lasia. Kuinka särmien pituudet on valittava, jotta hinta olisi mahdollisimman alhainen, kun lasi on kaksi kertaa niin kallista kuin puu?

Tehtävä 199

Määritä funktion f(x, y, z) = x³ + y³ + z³ suurin ja pienin arvo tason x + y + z = 3 ja pallon x² + y² + z² = 27 leikkausympyrällä.

Vastaus

Tehtävä 200

Määritä Lagrangen kertojaa käyttäen funktion f(x₁, . . . , x_n) = (x₁. . . x_n)² suurin arvo yksikköpallolla x 2
1

+ . . . x

= 1. Päättele tuloksesta aritmeettisen ja geometrisen keskiarvon välinen epäyhtälö V~ --------
n a1...an

(a₁ + . . . + a_n), missä a_k > 0.

Vastaus

Tehtävä 201

Etsi lausekkeen sum n
k=1

ääriarvot, kun side-ehtona on sum n
k=1

x_k = a.

Tehtävä 202

Määritä funktion f(x, y) = x² + y² suurin ja pienin arvo käyrällä x³ + y³ = 3xy.

Tehtävä 203

Määritä funktion f(x, y, z) = x² + y² + z² suurin ja pienin arvo pallon x² + y² + z² + 4x + 4y = 10 ja lieriön x² + y² + 2x + 2y = 6 leikkauskäyrällä.

Tehtävä 204

Määritä funktion f(x, y, z) = x³ + y³ + z³ suurin ja pienin arvo pallon x² + y² + z² + 4x + 4y = 10 ja lieriön x² + y² + 2x + 2y = 6 leikkauskäyrällä.