7 Taso- ja avaruusintegraali
7.1 Tasointegraalin määrittely
Tehtävä 205
Tarkastellaan funktiota f(x, y) = x + y neliössä { (x, y) | 0 < x < 1, 0 < y < 1 }. Neliö jaetaan suorilla x = a ja y = b neljään osasuorakulmioon; 0 < a < 1, 0 < b < 1. Muodosta tähän jakoon p liittyvä alasumma Sp ja yläsumma
p . Määritä suppSp ja
infp
ptällaisille jaoille. Seuraako lukujen erisuuruudesta, että funktio ei ole integroituva
ko. neliössä?
Tehtävä 206
Olkoot T1 ja T2 kaksi perussuorakulmiota, joille pätee A
T1, A T2.
Osoita, että jos funktion f nollajatko f
on integroituva yli joukon T1, niin se on
integroituva myös joukon T2 yli ja integraalit ovat yhtä suuret:
f
= 
f
.
7.2 Tasointegraalin perusominaisuudet
Tehtävä 207
Todista suoraan integraalin määritelmään perustuen tasointegraalin ominaisuus
f = 
f,
missä on vakio.
Tehtävä 208
Todista funktioiden nollajatkoille: (f + g)
= f
+ g
.
Tehtävä 209
Olkoon joukko A jaettu kahteen osaan A = A1
A2, missä A1 
A2 = Ø.
Osoita: f
= f
+ f
.
Tehtävä 210
Osoita vastaesimerkillä, että tasointegraalin väliarvolauseen oletusta integrointijoukon A yhtenäisyydestä ei voida jättää pois.7.3 Tasointegraalin laskeminen
Tehtävä 211
Funktio f(x, y) olkoon jatkuva joukossa { (x, y) | a1 < x < a2, b1(x) < y < b2(x) }, missä funktiot b1(x) ja b2(x) ovat jatkuvia välillä [a1, a2]. Todista, että funktio
g(x) = 
f(x, y) dy
on jatkuva välillä [a1, a2].
Tehtävä 212
Laske
fxy(x, y) dxdy,
kun A on suorakulmio [a, b] × [c, d].
Tehtävä 213
Laske seuraavat integraalit:a)  x2 da, A = { (x, y) | |x| + |y| < 1 }; | |||
b)   da, A = { (x, y) | |x| < 1, 1 < y < 2 }. |
Tehtävä 214
Laske
xy da, kun A on a) kolmio, jonka kärjet ovat (0, 0), (1, 1), (1, 2);
b) kuvio, jonka määrittelevät ehdot x 
[0, 1], 0 < y < 
; c) segmentti, jota rajoittavat
suora y = 2(x - p) ja paraabeli y2 = 2px.
Tehtävä 215
Etsi funktion f :
2 
,
f(x, y) = 
(10 - xu - yv2)2 dudv,
suhteelliset ääriarvot. Ovatko nämä maksimeja vai minimejä?
Tehtävä 216
Laske integraali
dxdy, A = { (x, y) | 0 < x < y < 
}.
7.4 Avaruusintegraali
Tehtävä 217
Olkoon V = { (x, y, z) | x > 0, y > 0, z > 0, x + y + z < 1 }. Laske a)
(1 - x - y)5 dv, b) 
xyz4 dv.
Tehtävä 218
Tutki, millä muuttujan t arvoilla funktio
f(t) = 
xy(z - 1) ln(1 + z4) dxdydz
saa pienimmän arvonsa.
7.5 Muuntaminen sijoituksella
Tehtävä 219
Laske integraali
(x + 2y)4(x - 2y)6 dxdy,
kun integroimisjoukkona on tasoalue A = { (x, y) | |x + 2y| < 1, |x - 2y| < 2 }.
Tehtävä 220
Laske sopivan muuttujanvaihdon avulla integraali
(2x + 3y)2(x - 5y)2 dxdy, missä A = { (x, y) | |2x + 3y| < 4, |x - 5y| < 3 }.
Tehtävä 221
Laske käyrien y3 = ax2, y3 = bx2, x4 = cy3, x4 = dy3 (0 < a < b, 0 < c < d) ensimmäisessä neljänneksessä rajoittaman alueen pinta-ala. Valitse uusiksi muuttujiksi u ja v, jotka määräytyvät yhtälöistä y3 = ux2, x4 = vy3.Tehtävä 222
Laske muotoa x = as cos t, y = bs sin t (a ja b vakioita) olevaa muunnosta käyttäen tasointegraali
ln
da, A = { (x, y) | x > 0, y > 0, 9x2 + 4y2 < 36 }.
Tehtävä 223
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat xy-tason yläpuolella pinnat| a) x2 + y2 = a2, x2 + y2 = az, z = 0 (a > 0); | |||
| b) z = x2 - y2, x2 + y2 = 1, z = 0. |
Tehtävä 224
Laske sen kappaleen tilavuus, jota rajoittavat paraboliset lieriöt z2 = y, z2 = 2y, x2 = z, x2 = 2z, y2 = x, y2 = 2x. Siirry aluksi yhtälöiden x = uy2, y = vz2, z = wx2 määräämiin uusiin muuttujiin u, v, w.Tehtävä 225
Laske
x2y dv, kun V = { (x, y, z) | z2 < x2 + y2 < 1 }.
Tehtävä 226
Laske
xyz dv, kun V on pallon oktantti
{ (x, y, z) | x2 + y2 + z2 < 1, x > 0, y > 0, z > 0 }.
Tehtävä 227
Muunna integraali
f(x, y, z) dxdydz
pallokoordinaatteihin, kun funktio f oletetaan integroituvaksi ja integroimisjoukko A on R-säteinen origokeskinen pallo. Laske sovellutuksena R-säteisen pallon tilavuus.
Tehtävä 228
Laske sekä pallon x2 + y2 + z2 = R2 että kartion
z = 
sisään jäävän avaruuden osan tilavuus avaruusintegraalina siirtymällä a) lieriö-,
b) pallokoordinaatistoon.
Tehtävä 229
Pisteen P0
r0 keskietäisyys kappaleen B pisteistä on integraali
|r - r0| dv.
Laske pisteen (0, 0, c) keskietäisyys pallon r < R pisteistä, kun c > R.
Tehtävä 230
Laske pallokoordinaateissa integraali
f(t) = 
, t > 0,
missä B on origokeskinen R-säteinen pallo. Piirrä funktion f kuvaaja.
Tehtävä 231
Laske tasa-arvokäyrien avulla integraali
sin(x2 + y2) dxdy, A = { (x, y) | 1 < x2 + y2 < 4 }.
Tehtävä 232
Anna differentiaaligeometrinen perustelu a) lieriökoordinaatiston tilavuusalkiolle dv =
dd
dz, b) pallokoordinaatiston tilavuusalkiolle dv = r2 sin 
drdd.
7.6 Integraali avaruudessa n
Tehtävä 233
Olkoon Bn(r) avaruudenn r-säteinen pallo:
Bn(r) = { x n | ||x|| < r }.
Olkoon 
(Bn (r)) tämän mitta (pituus, pinta-ala, tilavuus, etc.). Johda yksikköpallojen
Bn (1) = Bn mitoille seuraava rekursio:
(B1) = 2, (B2) = 
, (Bn) = 
(Bn-2), n = 3, 4, . . . .