Here be a line, if not the image is missing
 

Polynomit

Aloitussivu

Ensimmäisen asteen polynomi on muotoa ax + b oleva lauseke, toisen asteen polynomi on muotoa ax2 + bx + c, kolmannen asteen ax3 + bx2 + cx + d jne. Polynomissa voi olla myös useampia muuttujia, esimerkiksi ax2 + by2 + cxy + dx + ey + f.

Polynomilausekkeita esiintyy monissa yhteyksissä ja niitä joudutaan eri tavoin muokkaamaan. Tärkeimpiä operaatioita ovat sulkujen poisto (osittelulain avulla, esim. x2(ax2 + b) = ax4 + bx2), polynomin jako tekijöihin, kahden polynomin jakolasku jne.

M Polynomi
M Binomikaava
M Polynomien jakolasku
M Polynomien alkeellinen tekijöihin jako

 

Yhden muuttujan polynomifunktiolla on sille luonteenomaisia piirteitä, joiden tunteminen auttaa usein tilanteiden hahmottamista. Esimerkiksi toisen asteen polynomin kuvaaja on joko alaspäin tai ylöspäin aukeava paraabeli.

M Polynomifunktio

Esimerkkejä

  
 

  1. Erilaisten polynomifunktioiden kuvaajia:
    kuvaaja1
    kuvaaja2
    kuvaaja3
    kuvaaja4
  2. Sievennetään kahden muuttujan polynomi:

    5x3 + 3x2y + 10x + 6y = x2(5x + 3y) + 2(5x + 3y) = (x2 + 2)(5x + 3y).


  3. Lasketaan binomikaavan avulla 5 (a − 2b) :

    ( ) 5 ∑5 5 5−k k (a − 2b) = a (− 2b) k=0 k (5) (5) = a5−0(− 2b)0 + a5−1(− 2b)1 0 ( ) 1 ( ) 5 5− 2 2 5 5− 3 3 + 2 a (− 2b) + 3 a (− 2b) ( ) ( ) + 5 a5−4(− 2b)4 + 5 a5−5(− 2b)5 4 5 5 0 4 1 = a (− 2b) + 5a (− 2b) + 10a3(− 2b)2 + 10a2 (− 2b)3 + 5a1 (− 2b)4 + a0(− 2b)5 = a5 − 10a4b + 40a3b2 − 80a2b3 + 80ab4 − 32b5.

    Toiseksi viimeisen rivin kertoimet saadaan myös Pascalin kolmion 5. riviltä.

  4. Neliöksi täydentämisessä pyritään löytämään sellainen summan neliö

    2 2 2 2 (ax + b) = a x + 2abx + b ,

    jonka termit ovat vakiota vaille annetun yhtälön kanssa. Tämän jälkeen lisätään ja vähennetään yhtälöön summan neliön vakio ja täydennetään neliöksi.
    Esimerkiksi yhtälöä x2 + 6x − 7 vastaava summan neliö on

    2 2 (x + 3) = x + 6x + 9.

    Lisätään ja vähennetään vakio alkuperäiseen yhtälöön, jolloin saadaan yhtälö täydennettyä neliöksi

    x2 + 6x − 7 = x2 + 6x + 9 − 7 − 9 2 = (x + 3) − 16.

    Neliöksi täydennetyn funktion kuvaajaa on yleensä helpompaa hahmotella, sillä kuvaaja on muuten samanlainen kuin summan neliön kuvaaja, kuvaajaa on vain siirretty vakion määräämään verran y-akselin suuntaisesti. kuvaaja5

  5. Täydennetään neliöksi ax2 + bx + c.

    Etsitään sellainen summa, jonka neliö olisi vakioita vaille sama annetun polynomin kanssa. Summan ensimmäisen termin täytyy olla √ ---- √ -- ax2 = x a . Summan termien tulon täytyy olla bx2 ja toiseksi termiksi saadaan siis bx b -√2--= -√--- x a 2 a .
    ---- √ ax2 = √ax- = ⇒ -b√x---= -b√--- 2 ax 2 a

    Nyt voidaan laskea summan jälkimmäisen termin neliö.

    ( )2 --b-- -b2 2√ a = 4a

    Nyt voidaan täydentää alkuperäinen polynomi neliöksi.

    2 2 (√ -- )2 2 ax2 + bx + b--+ c − b--= ax + -b√--- + c − -b- 4a 4a 2 a 4a ( √ -- b )2 b2 − 4ac (√ --( b ) )2 b2 − 4ac = ax + -√--- − --------= a x + --- − -------- 2 a 4a 2a 4a ( b )2 b2 − 4ac = a x + --- − --------. 2a 4a

    Vaihtoehtoisesti voidaan polynomista ottaa aluksi myös yhteiseksi tekijäksi kerroin a , jolloin saadaan muokattavaksi yleensä helpompi polynomi a(x2 + bx + c) a a . Nyt sopiva summakin löydetään helposti, sillä

    --- ( )2 2 √ x2 = x = ⇒ bx--= b-, b-- = -b-, 2ax 2a 2a 4a2

    ja neliömuodoksi saadaan:

    ( ( ) ) ( ) b-- 2 c- -b2- -b- 2 b2 −-4ac a x + 2a + a − 4a2 = a x + 2a − 4a .


  6. Lasketaan 2 2 2 x + y + z , kun x + y + z = 0 ja 1 xy + yz + zx = − 2 .

    Ensin ratkaistaan jokin muuttuja ensimmäisen ehdon avulla, esimerkiksi
    x = − y − z.

    Sijoitetaan ratkaisu alkuperäiseen yhtälöön:

    (− y − z )2 + y2 + z2 = 2y2 + 2yz + 2z2

    sekä jäljelle jäävään ehtoon:

    1 − y2 − yz − z2 = − -- 2 y2 + yz + z2 = 1- 2 2y2 + 2yz + 2z2 = 1.

    Sijoitetaan ehto yhtälöön:

    2 2 2 2 2 x + y + z = 2y + 2yx + 2z = 1.

    Siis x2 + y2 + z2 = 1.

(LiveGr3D) Neljännen asteen polynomin kuvaaja
(Mma) Graph of a polynomial

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Jaa polynomit tekijöihin:

    1.    2 x − 4

    2.    2 x − 1

    3.    2 2 25x − 36y

    4.    4 2x − 32

    5.   (2a-−-b)(a-+-2b) −-3ab a + b

  2. Sievennä lausekkeet:

    1.   x2 + 6x + 9 --2--------- x − 2x + 1

    2.    2 4x--−-12x-+--9 4x3 − 4x2 + x

    3.   − a2 + 2a − 1 ------------- 2a2 − a4 − 1

  3. Jaa polynomit tekijöihin:

    1.   x3 − 3x2 + 2x − 6

    2.    2 a − ab − a + b

  4. Täydennä polynomit neliöiksi:

    1.   x2 − 8x + 6

    2.   a2x2 + ax + a- 4

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä