Esimerkkejä ryhmien homomorfialauseen käytöstäEsimerkki. Palautetaan mieleen joukko m = {,,...,}. Kuvaus on homomorfismi, koska f(a + b) = = + = f(a) + f(b) kaikilla a,b . Ryhmän (m, +) neutraalialkio on . Täten ker(f) = {a | = } = {a Z | m | a} = m. Koska Im(f) = m, on homomorfialauseen nojalla Kuten sivulla Esimerkkejä normaaleista aliryhmistä ja tekijäryhmistä on nyt luontevaa, että tekijäryhmän /m operaatio on +. Tämän isomorfismin antaa kuvaus F(a + m) = f(a) = kaikilla a m. Seuraavissa esimerkeissä tekijäryhmän operaatio . määritellään kuten sivun Tekijäryhmä lauseessa. Esimerkki. Merkitään * = \{0} ja + = {x | x > 0}. Kuvaus f : (*, . ) ( +, . ), missä f(x) = |x| kaikilla x *, on homomorfismi, sillä f(xy) = |xy| = |x||y| = f(x)f(y). Koska ryhmän (+, . ) neutraalialkio on 1, on kuvauksen ydin ker(f) = {x * ||x| = 1} = {±1}. Selvästi Im (f) = +. Täten homomorfialauseen nojalla kuvaus f indusoi isomorfismin Huomaa, että a . {±1} = {±a} kaikilla a *.
Esimerkki. Kuvaus (vertaa sivuun Esimerkkejä aliryhmistä) on homomorfismi, sillä f(AB) = det(AB) = det(A) det(B) = f(A) . f(B) kaikilla A, B GLn (). Ryhmän (* , . ) neutraalialkio on 1, joten Koska Im (f) = * saadaan homomorfialauseen mukaan
Esimerkki. Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio. Triviaali homomorfismi f : (G,*) (G,*), missä f(a) = e kaikilla a G, indusoi isomorfian Identtinen kuvaus id:(G,*) (G,*), missä id(a) = a kaikilla a G, on homomorfismi ja se indusoi isomorfian
Linkit:
|