Esimerkkejä aliryhmistä

Esimerkki.

Esimerkki. Pari (, +) on ryhmä. Merkitään jollekin kokonaisluvulle m > 1,

Osoitetaan käyttäen aliryhmäkriteeriä, että (m, +) on ryhmän (, +) aliryhmä.

Selvästi joukko m on epätyhjä. Oletetaan, että a,b m. Koska ryhmän binäärioperaatio on yhteenlasku, on käänteisalkion b^-1 tilalla nyt vasta-alkio -b. Merkintää a * b^-1 vastaa siis a + (-b) = a - b. Nyt joillekin kokonaisluvuille k₁ ja k₂ on a = mk₁ ja b = mk₂, joten -b = m(-k₂). Täten a - b = mk₁ + m(-k₂) = m(k₁ - k₂) m, koska k₁ - k₂ . Siis (m, +) < (, +).

Esimerkki. Säännöllisten (n×n)-matriisien joukko GL_n() = {A M_n×n() | det(A)0} on ryhmä matriisien kertolaskun suhteen. Näytetään, että joukon GL_n() osajoukko

muodostaa aliryhmän. SL_n()Ø, koska identiteettimatriisi I_n SL_n(). Olkoon A,B SL_n(). Silloin AB^-1 SL _n(), koska det(AB^-1) = det(A) det(B^-1) = det(A) det(B)^-1 = 1 ^. 1^-1 = 1.

Esimerkki. Olkoon (G,*) mikä tahansa ryhmä ja merkitään

Osoitetaan, että (Z(G),*) on ryhmän (G,*) aliryhmä. Aliryhmää (Z(G),*) kutsutaan ryhmän (G, *) keskukseksi.

Olkoon e ryhmän (G,*) neutraalialkio. Koska e * a = a = a * e kaikilla a G, on joukko Z(G) epätyhjä. Oletetaan, että a,b Z(G). Osoitetaan ensin, että b^-1 Z(G). Koska b Z(G), on kaikilla x G, b * x = x * b. Operoimalla tätä yhtälöä molemmin puolin vasemmalta alkiolla b^-1 ja käyttämällä assosiatiivisuutta nähdään, että x = e * x = (b^-1 * b) * x = b^-1 * (b * x) = b^-1 * (x * b). Operoimalla näin saatua yhtälöä vastaavasti oikealta puolelta saadaan x * b^-1 = (b^-1 * x) * (b * b^-1) = b^-1 * x.

Koska a, b^-1 Z(G), saadaan käyttämällä assosiatiivisuutta, että (a * b^-1 ) * x = a * (b^-1 * x) = a * (x * b^-1) = (a * x) * b^-1 = (x * a) * b^-1 = x * (a * b^-1). Täten a * b^-1 Z(G).

Linkit:
Aliryhmä
Esimerkkejä ryhmistä
Esimerkkejä ryhmistä 2
Yksinkertaisia matriiseja
Matriisitulon determinantti
Säännöllinen matriisi