smr090.html

Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003

LINEAARIALGEBRA

Säännöllinen matriisi

Määritelmä. Olkoon A (n × n)-matriisi. Jos on olemassa sellainen (n × n)-matriisi K, että

AK = KA = In,

missä I_n on identiteettimatriisi, niin sanotaan, että A on säännöllinen (tai kääntyvä, englanniksi non-singular). Matriisia K sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään K = A^-1.

Mikäli matriisilla A on käänteismatriisi, on se yksikäsitteinen. Todistetaan tämä vastaoletuksella, että matriisilla A olisi kaksi käänteismatriisia K ja K'. Kertomalla yhtälöä AK = I_n puolittain vasemmalta matriisilla K' saadaan käyttämällä matriisitulon assosiatiivisuutta yhtälön vasemmaksi puoleksi K'(AK) = (K'A)K = I_nK = K ja oikeaksi puoleksi K'I_n = K'. Täten K = K'.

Esimerkiksi diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat nollasta eroavia, on säännöllinen. Sillä, jos

( ) ( ) d1 0 ... 0 1/d1 0 ... 0 0 d ... 0 0 1/d ... 0 D= . .2 . , niin D -1 = . .2 . . .. .. .. .. .. .. 0 0 ... dn 0 0 ... 1/dn

Lause. Matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos det(A)0.

Todistus. Oletetaan ensin, että A on säännöllinen. Matriisitulon determinantti -sivun lauseen mukaan

1 = det(In) = det(AA -1) = det(A) det(A -1),

jolloin välttämättä det(A)0.

Oletetaan toiseksi, että det(A)0. Muodostetaan matriisi B = (C_ij)^T, missä C_ij on matriisin A alkion a_ij komplementti. Merkitään D = AB, jolloin d_ij = sum n
k=1 a_ikC_jk. Jos i = j, niin sivun Determinantin rivikehitelmät lauseen nojalla d_ij = det(A). Jos i j, niin korvaa matriisin A j :s vaakarivi i :nnellä vaakarivillä ja kehittele vastaava determinantti j :nnen vaakarivin mukaan. Tämä kehitelmä on yhtäsuuri kuin d_ij, koska j :nnen vaakarivin alkiot eivät ole mukana komplementeissa C_jk ja siksi C_jk pysyvät vaakarivin vaihdossa muuttumattomina. Toisaalta determinantissa d_ij on kaksi samaa vaakariviä ja Determinantin perusominaisuuksia sivun kohdan (D5) perusteella d_ij = 0.

Edellinen päättely menee samoin myös tulolle BA, jolloin vain operaatiot tehdään pystyriveittäin. Matriisi D = AB = BA on siis diagonaalimatriisi, jonka lävistäjän alkiot ovat kaikki yhtäsuuria kuin det(A). Koska det(A)0, voimme jakaa matriisin B sillä ja saamme matriisin A käänteismatriisin.

Todistuksen alkuosassa tuli lisäksi osoitettua, että säännöllisen matriisin A käänteismatriisin determinantti voidaan laskea kaavalla det(A^-1) = det(A)^-1.

Linkit:
Matriisi
Yksinkertaisia matriiseja
Matriisitulon determinantti
Alideterminantti ja komplementti
Determinantin rivikehitelmät
Determinantin perusominaisuuksia