Säännöllinen matriisiMääritelmä. Olkoon A (n × n)-matriisi. Jos on olemassa sellainen (n × n)-matriisi K, että ![]() missä In on identiteettimatriisi, niin sanotaan, että A on säännöllinen (tai kääntyvä, englanniksi non-singular). Matriisia K sanotaan matriisin A käänteismatriisiksi ja merkitään K = A-1. Mikäli matriisilla A on käänteismatriisi, on se yksikäsitteinen. Todistetaan tämä vastaoletuksella, että matriisilla A olisi kaksi käänteismatriisia K ja K'. Kertomalla yhtälöä AK = In puolittain vasemmalta matriisilla K' saadaan käyttämällä matriisitulon assosiatiivisuutta yhtälön vasemmaksi puoleksi K'(AK) = (K'A)K = InK = K ja oikeaksi puoleksi K'In = K'. Täten K = K'. Esimerkiksi diagonaalimatriisi, jonka diagonaalialkiot ovat nollasta eroavia, on säännöllinen. Sillä, jos ![]()
Lause. Matriisi A on säännöllinen jos ja vain jos det(A)
Todistus. Oletetaan ensin, että A on säännöllinen. Matriisitulon determinantti -sivun lauseen mukaan ![]() jolloin välttämättä det(A) Oletetaan toiseksi, että det(A) Edellinen päättely menee samoin myös tulolle BA, jolloin vain operaatiot tehdään
pystyriveittäin. Matriisi D = AB = BA on siis diagonaalimatriisi, jonka lävistäjän alkiot ovat
kaikki yhtäsuuria kuin det(A). Koska det(A) Todistuksen alkuosassa tuli lisäksi osoitettua, että säännöllisen matriisin A käänteismatriisin determinantti voidaan laskea kaavalla det(A-1) = det(A)-1.
Linkit:
|