Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA
Versio 1, 1.11.2003
KUNTA
 

Alkukunta

Lause. Kaikilla kunnilla (K, +, . ) on alikuntana (P, +, . ), missä

     {  Z ,  jos char(K) =  p,
P   -~     p
        Q,   jos char(K) =  0.

Todistus. Todistetaan, että kunnaksi (P, +, . ) voidaan ottaa sivun Huomioita alikunnasta lauseen mukainen kunta (KD, +, . ), missä (D, +, . ) on saman sivun lemman mukainen kokonaisalue.

Jos char(K) = p, niin D  -~ Zp. Siis D on äärellinen ja sivun Kunta lauseen mukaan (D, +, . ) on kunta, joten se sisältää alkioidensa osamäärät ja täten D = KD. Silloin kunnalla (K, +, . ) on alikunta (KD, +, . ), missä K D  -~ Zp.

Oletetaan nyt, että char(K) = 0. Silloin

                                   {  n1                    }
D=  {n1K  |n  (-  Z}~ -  Z  ja   KD  =   ---K- |n,m   (-  Z, m /= 0  ,
                                     m1K

siis KD  -~ Q. []

Määritelmä. Kuntaa sanotaan alkukunnaksi (prime field), jos sillä ei ole aitoja alikuntia.

Lause. (i) Kaikki alkukunnat (isomorfiaa vaille) ovat kunnat (Zp, +, . ), missä p on alkuluku ja (Q, +, . ).

(ii) Jokaisella kunnalla (K, +, . ) on alikuntana yksikäsitteinen alkukunta (P, +, . ), missä P on kuten edellisessä lauseessa.

Todistus. (i) Todistetaan ensin, että (Q, +, . ) on alkukunta. Oletetaan, että kunta (F, +, . ) on kunnan (Q, +, . ) alikunta. Koska 1 = 1Q  (- F, niin n . 1  (- F kaikilla n  (- Z. Siis Z  (_ F. Koska F on kunta, niin ab  (- F kaikilla a,b  (- Z, b/=0. Siis Q  (_ F. Täten F = Q. Siis kunnalla (Q, +,  .   ) ei ole aitoja alikuntia.

Todistetaan toiseksi, että kunta (Zp, +, . ) on alkukunta. Jos (F, +, . ) on kunnan (Z p, +, . ) alikunta, niin (F, +) on ryhmän (Zp, +) aliryhmä. Lagrangen lauseen mukaan aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, joten #F | #Zp. Koska #Zp = p ja #F > 2 (koska (F, +, . ) on kunta), niin #F = p ja siis F = Zp.

Se, ettei ole olemassa muita alkukuntia seuraa kohdasta (ii).

(ii) Olkoon (K, +, . ) kunta. Silloin edellisen lauseen mukaan kunnalla K on alikunta (P, +,  .   ), jossa P  -~ Z p tai P  -~ Q kunnan K karakteristikan mukaan. Edellä todistetun mukaan nämä ovat alkukuntia.

Osoitetaan vielä yksikäsitteisyys (tästä seuraa myös (i)-kohdan loppuosa). Olkoot alkukunnat (P 1 , +,  .   ) ja (P 2, +, . ) kunnan (K, +, . ) alikuntia. Sivun Alikunta lauseen mukaan (P 1  /~\ P 2 , +,  . ) on myös kunta. Se on siis kuntien P 1 ja P2 alikunta. Koska nämä molemmat ovat alkukuntia, on P1 = P1  /~\ P2 = P2. []

Edellinen lause osoittaa, että kunnan karakteristika on ratkaisevassa osassa määritettäessä kunnan tyyppiä. Lauseesta seuraa myös, että kunnalla ja sen alikunnalla on sama alkukunta.


Linkit:
Huomioita alikunnasta
Kunta
Lagrangen lause
Alikunta