AlkukuntaLause. Kaikilla kunnilla (K, +, . ) on alikuntana (P, +, . ), missä
Todistus. Todistetaan, että kunnaksi (P, +, . ) voidaan ottaa sivun Huomioita alikunnasta lauseen mukainen kunta (KD, +, . ), missä (D, +, . ) on saman sivun lemman mukainen kokonaisalue. Jos char(K) = p, niin D p. Siis D on äärellinen ja sivun Kunta lauseen mukaan (D, +, . ) on kunta, joten se sisältää alkioidensa osamäärät ja täten D = KD. Silloin kunnalla (K, +, . ) on alikunta (KD, +, . ), missä K D p. Oletetaan nyt, että char(K) = 0. Silloin siis KD .
Määritelmä. Kuntaa sanotaan alkukunnaksi (prime field), jos sillä ei ole aitoja alikuntia.
Lause. (i) Kaikki alkukunnat (isomorfiaa vaille) ovat kunnat (p, +, . ), missä p on alkuluku ja (, +, . ). (ii) Jokaisella kunnalla (K, +, . ) on alikuntana yksikäsitteinen alkukunta (P, +, . ), missä P on kuten edellisessä lauseessa.
Todistus. (i) Todistetaan ensin, että (, +, . ) on alkukunta. Oletetaan, että kunta (F, +, . ) on kunnan (, +, . ) alikunta. Koska 1 = 1 F, niin n . 1 F kaikilla n . Siis F. Koska F on kunta, niin F kaikilla a,b , b0. Siis F. Täten F = . Siis kunnalla (, +, . ) ei ole aitoja alikuntia. Todistetaan toiseksi, että kunta (p, +, . ) on alkukunta. Jos (F, +, . ) on kunnan ( p, +, . ) alikunta, niin (F, +) on ryhmän (p, +) aliryhmä. Lagrangen lauseen mukaan aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, joten F | p. Koska p = p ja F > 2 (koska (F, +, . ) on kunta), niin F = p ja siis F = p. Se, ettei ole olemassa muita alkukuntia seuraa kohdasta (ii). (ii) Olkoon (K, +, . ) kunta. Silloin edellisen lauseen mukaan kunnalla K on alikunta (P, +, . ), jossa P p tai P kunnan K karakteristikan mukaan. Edellä todistetun mukaan nämä ovat alkukuntia. Osoitetaan vielä yksikäsitteisyys (tästä seuraa myös (i)-kohdan loppuosa). Olkoot alkukunnat (P 1 , +, . ) ja (P 2, +, . ) kunnan (K, +, . ) alikuntia. Sivun Alikunta lauseen mukaan (P 1 P 2 , +, . ) on myös kunta. Se on siis kuntien P 1 ja P2 alikunta. Koska nämä molemmat ovat alkukuntia, on P1 = P1 P2 = P2. Edellinen lause osoittaa, että kunnan karakteristika on ratkaisevassa osassa määritettäessä kunnan tyyppiä. Lauseesta seuraa myös, että kunnalla ja sen alikunnalla on sama alkukunta.
Linkit:
|