Alkukunta

Lause. Kaikilla kunnilla (K, +, ^. ) on alikuntana (P, +, ^. ), missä

Todistus. Todistetaan, että kunnaksi (P, +, ^. ) voidaan ottaa sivun Huomioita alikunnasta lauseen mukainen kunta (K_D, +, ^. ), missä (D, +, ^. ) on saman sivun lemman mukainen kokonaisalue.

Jos char(K) = p, niin D _p. Siis D on äärellinen ja sivun Kunta lauseen mukaan (D, +, ^. ) on kunta, joten se sisältää alkioidensa osamäärät ja täten D = K_D. Silloin kunnalla (K, +, ^. ) on alikunta (K_D, +, ^. ), missä K _{D p}.

Oletetaan nyt, että char(K) = 0. Silloin

siis K_D .

Määritelmä. Kuntaa sanotaan alkukunnaksi (prime field), jos sillä ei ole aitoja alikuntia.

Lause. (i) Kaikki alkukunnat (isomorfiaa vaille) ovat kunnat (_p, +, ^. ), missä p on alkuluku ja (, +, ^. ).

(ii) Jokaisella kunnalla (K, +, ^. ) on alikuntana yksikäsitteinen alkukunta (P, +, ^. ), missä P on kuten edellisessä lauseessa.

Todistus. (i) Todistetaan ensin, että (, +, ^. ) on alkukunta. Oletetaan, että kunta (F, +, ^. ) on kunnan (, +, ^. ) alikunta. Koska 1 = 1 F, niin n ^. 1 F kaikilla n . Siis F. Koska F on kunta, niin F kaikilla a,b , b0. Siis F. Täten F = . Siis kunnalla (, +,  ^.   ) ei ole aitoja alikuntia.

Todistetaan toiseksi, että kunta (_p, +, ^. ) on alkukunta. Jos (F, +, ^. ) on kunnan ( _p, +, ^. ) alikunta, niin (F, +) on ryhmän (_p, +) aliryhmä. Lagrangen lauseen mukaan aliryhmän kertaluku jakaa ryhmän kertaluvun, joten F | _p. Koska _p = p ja F > 2 (koska (F, +, ^. ) on kunta), niin F = p ja siis F = _p.

Se, ettei ole olemassa muita alkukuntia seuraa kohdasta (ii).

(ii) Olkoon (K, +, ^. ) kunta. Silloin edellisen lauseen mukaan kunnalla K on alikunta (P, +,  ^.   ), jossa P _p tai P kunnan K karakteristikan mukaan. Edellä todistetun mukaan nämä ovat alkukuntia.

Osoitetaan vielä yksikäsitteisyys (tästä seuraa myös (i)-kohdan loppuosa). Olkoot alkukunnat (P ₁ , +,  ^.   ) ja (P ₂, +, ^. ) kunnan (K, +, ^. ) alikuntia. Sivun Alikunta lauseen mukaan (P ₁ P ₂ , +,  ^. ) on myös kunta. Se on siis kuntien P ₁ ja P₂ alikunta. Koska nämä molemmat ovat alkukuntia, on P₁ = P₁ P₂ = P₂.

Edellinen lause osoittaa, että kunnan karakteristika on ratkaisevassa osassa määritettäessä kunnan tyyppiä. Lauseesta seuraa myös, että kunnalla ja sen alikunnalla on sama alkukunta.

Linkit:
Huomioita alikunnasta
Kunta
Lagrangen lause
Alikunta