Sisällön pääryhmät Alkeisfunktiot Rationaalifunktiot [ 1 2 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot,  polynomit KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Rationaalifunktion r(x) = p(x)/q(x) (missä p(x) ja q(x) polynomeja) asymptootti on suora tai käyrä, jota kuvaaja y = r(x) rajatta lähestyy, kun xy-tasossa jollakin tavoin siirrytään äärettömyyteen.

Nimittäjän q(x) nollakohdat a_k antavat kuvaajan pystysuorat asymptootit x = a_k. Näissä kohdissa funktion r(x) raja-arvo on + tai -; mahdollisesti eri puolilta lähestyttäessä erilainen.

Jos rationaalifunktio r(x) kirjoitetaan muotoon r(x) = u(x) + v(x)/q(x), missä polynomi v(x) on alempaa astetta kuin polynomi q(x), on

lim_x±[r(x) - u(x)] = lim_x±v(x)/q(x) = 0.

Tällöin rationaalifunktion kuvaaja y = r(x) lähestyy käyrää y = u(x), kun x ±.

Jos polynomi u(x) on astetta 0, ts. u(x) = c₀ = vakio, on rationaalifunktion kuvaajalla vaakasuora asymptootti y = c₀.

Jos asteluku on 1, on u(x) = c₁x + c₀ ja rationaalifunktiolla on vino asymptootti y = c₁x + c₀.

Jos u(x) on korkeampaa astetta, sanotaan, että rationaalifunktiolla on käyräviivainen asymptootti y = u(x).

Esimerkki: Rationaalifunktiolla

r(x) = = x² +

on pystysuora asymptootti x = 1 ja käyräviivainen asymptootti y = x². Kuvaaja:

funktio  polynomi  käyrä (taso-)  kuvaaja  nimittäjä  raja-arvo (funktion)  asteluku

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12