Sisällön pääryhmät Lukujonon ja funktion raja-arvo Funktion raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot KATSO MYÖS:  lukujonon raja-arvo,  funktion jatkuvuus

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Yleisesti reaalifunktion raja-arvon käsite määritellään seuraavalla tavalla:

Jotta funktion f raja-arvo pisteessä a olisi b (merkitään lim_xaf(x) = b), on tilanteen oltava sellainen, että asetetaanpa miten tiukka etäisyysvaatimus tahansa, funktion arvot ovat tätä etäisyyttä lähempänä arvoa b, kun muuttuja x rajoitetaan riittävän lähelle tarkastelukohtaa a.

Mitä tiukempi etäisyysvaatimus on, sitä pienempään pisteen a ympäristöön muuttuja x on yleensä rajoitettava. Jokaista positiivista etäisyyskynnystä vastaa kuitenkin aina jokin, ehkä hyvinkin pieni alue pisteen a ympärillä, jossa vaatimus toteutuu. Funktion arvosta pisteessä a ei tällöin vaadita mitään; funktion ei tarvitse edes olla tässä pisteessä määritelty.

Täsmällisemmin lausuttuna edellä oleva voidaan ilmaista seuraavasti:

Funktion f raja-arvo pisteessä a on b, jos jokaista etäisyyskynnystä (> 0) kohden on olemassa pisteen a ympäristöä rajaava luku (myös > 0) siten, että |f(x) - b| < , kun |x - a| < ja xa. Itseisarvolausekkeet |x - a| ja |f(x) - b| on syytä mieltää lukujen x ja a, vastaavasti f(x) ja b välisiksi etäisyyksiksi.

funktio (reaali-)  itseisarvo (reaaliluvun)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12