Esimerkki funktion raja-arvosta

Sisällön pääryhmät -->

Lukujonon ja funktion raja-arvo -->

Funktion raja-arvo [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#]

reaalifunktiot
KATSO MYÖS: [#]

lukujonon raja-arvo, [#]

funktion jatkuvuus

Kansisivu

Sisältö

Hakemisto

Esimerkki funktion raja-arvosta

Lauseke

f(x) = 1---cosx-
x2

määrittelee reaalimuuttujan reaaliarvoisen funktion f, jonka lähtöjoukko muodostuu nollasta eroavista reaaliluvuista. Periaatteessa f(0) voidaan määritellä miten tahansa. Luontevaa kuitenkin on ensin tutkia, miten funktio f käyttäytyy, kun x on lähellä origoa.

Jos funktion arvot lähestyvät jotakin kiinteää arvoa, kun x lähestyy origoa, kyseistä arvoa sanotaan funktion raja-arvoksi origossa. Tällöin on myös luontevaa määritellä f(0) juuri täksi arvoksi (jolloin funktiosta f tulee jatkuva funktio).

Numeeriset kokeilut antavat seuraavat tulokset:

x = ±0.5,	f(x) = 0.489669752;

x = ±0.05,	f(x) = 0.499895842;

x = ±0.005,	f(x) = 0.499998958;

x = ±0.0005,	f(x) = 0.499999989.

Näyttäisi siis, että funktion raja-arvo origossa on = 1
2 . (Numeerisissa kokeiluissa on tosin oltava varovainen, koska pyöristysvirheet voivat yllättäen aiheuttaa jopa täysin virheellisiä tuloksia.)