Here be a line, if not the image is missing
 

Eksponentti- ja logaritmifunktiot

Aloitussivu

Eksponenttifunktio on paitsi matematiikassa myös matematiikan sovelluksissa eniten käytettyjä funktioita. Ehkä hieman yllättävää on, että se niinkin hyvin soveltuu monien fysikaalisten, kemiallisten, teknisten ym. ilmiöiden kuvaamiseen.

Eksponenttifunktioita on monia: kantaluku voi periaatteessa olla mikä tahansa positiiviluku ykköstä lukuunottamatta. Yleensä nimityksellä eksponenttifunktio tarkoitetaan tapausta, jossa kantalukuna on Neperin luku e = 2,71828… . Jos kantaluku on jokin muu, tästä mainitaan erikseen.

M Eksponenttifunktion määrittely ja perusominaisuudet
M Yleisen eksponenttifunktion lausuminen Neperin luvun avulla
M Eksponenttifunktio sovelluksissa
M Neperin luvun määritelmä

 

Kantaluvusta (≠1) riippumatta eksponenttifunktiolla on käänteisfunktio, jota kutsutaan logaritmifunktioksi. Jos kantalukuna on Neperin luku e, käytetään nimitystä luonnollinen logaritmi, lyhenteenä ln. Jos kantaluku on 10, kyseessä on Briggsin logaritmi, joka lyhennetään lg.

Logaritmifunktio ja erityisesti sen laskusäännöt tulevat käyttöön mallinnettaessa reaalimaailman ilmiöitä eksponenttifunktiolla (tai myös logaritmifunktiolla). Logaritmeilla on myös merkittävä historia: ennen elektronisten laskimien aikakautta (ts. ennen 1970-lukua) logaritmeja käytettiin helpottamaan moninumeroisia kerto- ja jakolaskuja.

M Logaritmifunktion määrittely
M Logaritmin laskusäännöt
M Eksponentti- ja logaritmiyhtälöt
M Logaritmifunktion historiaa

Esimerkkejä

  1. Ratkaistaan yhtälö 2x2+6x = 1-- 32 . Yhtälö voidaan myös kirjoittaa muodossa
    2 2x +6x = 2−5.

    Nyt riittää, että ratkaisemme yhtälön

    2 2 x + 6x = − 5 ⇐ ⇒ x + 6x + 5 = 0.

    Ratkaisuksi saadaan

    { x = − 1 − 5


  2. Ratkaistaan yhtälö 4x = 100 ottamalla ensin luonnollinen logaritmi kummaltakin puolelta.
    ln 4x = ln 100 xln 4 = ln 100 ln100 ln102 2 ⋅ ln 10 ln 10 x = ------ = ----2-= --------= ----- ln4 ln 2 2 ⋅ ln 2 ln 2 x ≈ 3,322


  3. Ratkaistaan yhtälö 2 loga (x + 2) = 4 + loga (x + x − 2) . Logaritmin ääritelmän mukaan x + 2 > 0 ja 2 x + x − 2 > 0 . Kumpikin ehto toteutuu, kun x > 1 .
    loga(x + 2) = 4 + loga(x2 + x − 2) log (x + 2) − log ((x + 2)(x − 1)) = 4 a a log ------x +-2----- = 4 a((x + 2)(x − 1)) −1 loga(x − 1) = 4 − loga(x − 1) = 4 log (x − 1) = − 4 a

    Otetaan kummastakin puolesta a-kantainen eksponenttifunktio.

    aloga(x− 1) = a− 4 − 4 x − 1 = a x = a− 4 + 1

    Ratkaisu toteuttaa vaatimuksen, kun a−4 + 1 = x > 1 . a−4 + 1 > 1, ∀a ∈ ℝ . Lisäksi logaritmifunktiot ovat määriteltyjä vain, kun kanta a > 0 ja a ⁄= 1 . Yhtälön ratkaisu on siis

    x = a−4 + 1, a ∈ ℝ+ ∖ {1}.


  4. Exponentti- ja logaritmifunktioiden käänteisfunktiot.

(Mma) Eksponentti- ja logaritmifunktio

Harjoitustehtäviä

  1. Laske:

    1.  lg100000

    2.  log216

    3.  log13 27

    4.  √ ------- 7log7121

    5.  lg20 + lg15 − lg3

  2. Ratkaise yhtälöt:

    1.   2x 5 ⋅ 4 = 20

    2.  lg4 + lg(x − 1) + lg(x + 3) = lg1

    3.  2x ⋅ 14 = 32− x

    4.  53+x = 125 ⋅ 52x

    5.   4 logx16 = 3

  3. Ratkaise yhtälöt:

    1.  log2(5x + 11) = 4

    2.  log7x = 2

    3.  2log2 x + 14 = 0

    4.  e2lnx − 2x2 = − 4

    5.   x 3 x2 (e ) = e

    6.   3 2 ex +4x+x = 1

  4. Sievennä:

    1.   5 2 7 2 log47 + ln4 − ln 3 + log4 5 − ln 3

    2.  log181 + log22 484 − 2 ⋅ 18log1822
       
  5. Määritä funktioiden nollakohdat:

    1.  f(x) = 5ex − 1

    2.  f(x) = ex − 2

    3.   3x f(x) = 3e − 27

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä
  5. tehtävä