Sisällön pääryhmät Alkeisfunktiot Logaritmifunktio [ 1 2 3 4 ] ESITIEDOT:  reaalifunktiot,  eksponenttifunktio KATSO MYÖS:

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Eksponenttifunktio exp_a(x) = a^x, missä a > 1, on määritelty kaikilla reaaliarvoilla x, on aidosti kasvava ja saa arvoikseen kaikki positiiviset reaaliarvot. Tällöin kyseessä on bijektio ₊ ja sillä on käänteisfunktio ₊ . (₊ = positiiviset reaaliluvut.)

Käänteisfunktiota kutsutaan a-kantaiseksi logaritmiksi ja merkitään log_a. Siis

y = exp_a(x) = a^x x = log_ay.

Jos erityisesti kantalukuna on Neperin luku e, puhutaan luonnollisesta logaritmista, jota merkitään ln. Jos kantalukuna on 10, kyseessä on Briggsin logaritmi merkintänä yleensä lg.

Vastaava päättely kuin edellä voidaan tehdä myös tapauksessa 0 < a < 1. Ainoana erona on, että eksponenttifunktio exp_a ei tällöin ole aidosti kasvava vaan vähenevä. Tällaisia logaritmifunktioita ei kuitenkaan yleensä käytetä.

Jos a > 1, on logaritmifunktio aidosti kasvava; jos 0 < a < 1, niin aidosti vähenevä.

Koska a⁰ = 1 ja a¹ = a, on kantaluvusta a riippumatta

log_a1 = 0 ja log_aa = 1,

ts. ’ykkösen logaritmi on nolla’ ja ’kantaluvun logaritmi on yksi’.

funktio  eksponenttifunktio  kasvava (funktio)  kasvava (funktio)  bijektio  käänteisfunktio  käänteisfunktio  Neperin luku  vähenevä (funktio)  vähenevä (funktio)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12