Sanna Ranto, LUKUTEORIA JA ALGEBRA Versio 1, 1.11.2003 | RENGAS |
Esimerkkejä jäännösluokkarenkaista
Esimerkki. Renkaan ( , +, . ) ihanteita ovat joukot m kaikilla kokonaisluvuilla m, joilla
m > 1. Renkaan jäännösluokkarengas ihanteen m suhteen on
missä operaatiot kaikilla a,b ovat
Kyseessä on siis tuttu rengas ( m, +, . ) eli jäännösluokkarengas modulo m.
Jos m = 1 saadaan nollarengas / = {0}. Yleisestikin pitää paikkansa R/R = {0R}.
Esimerkki. Palautetaan mieleen joukko
Renkaan ( , +, . ) alirenkaana ( [ ], +, . ) on kommutatiivinen rengas (katso Esimerkkejä
alirenkaista).
Koska ( [ ], +, . ) on kommutatiivinen rengas, joukon {5, } generoima ihanne on sivun
Ihanteen generointi ja pääihannerengas lauseen mukaan
Ihanteen I =< 5, > muodostaman jäännösluokkarenkaan
mielivaltainen alkio on
sillä b I.
Jokainen kokonaisluku a voidaan kirjoittaa jakoalgoritmin mukaan muodossa a = 5q + r, missä
q, r ja 0 < r < 4. Täten
sillä 5q I.
Siis [ ]/ < 5, >= {r + I | r = 0, 1, 2, 3, 4}. Helposti nähdään, että joukon alkiot ovat eri
alkioita. Esimerkiksi vastaoletuksesta 0 + I = 1 + I seuraa, että 0 = 1 + i, jollekin i I. Pitäisi
siis olla i = -1, mutta tämä on ristiriita, sillä -1 / I.
Linkit:
Jäännösluokkarengas
Esimerkkejä ihanteista
Esimerkkejä alirenkaista
Ihanteen generointi ja pääihannerengas
Jakoalgoritmi
|