[#] Sisällön pääryhmät --> Alkeisfunktiot --> Trigonometrian kaavat [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#] trigonometriset funktiot
KATSO MYÖS:
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Esimerkki 2 trigonometrisesta yhtälöstä

Yhtälö sin x + cos x = V~ -- 2 voidaan ratkaista sijoittamalla

cos x = V~ ---------- 1 - sin2x,

jolloin saadaan juuriyhtälö tuntemattomana sin x. Tämän ratkaisu tapahtuu siirtämällä termejä yhtälössä sopivasti ja korottamalla saatu yhtälö puolittain neliöön. Seurauksena voi olla (ja onkin) että saadaan ylimääräisiä juuria, jotka eivät toteutakaan alkuperäistä yhtälöä.

Neliöön korotus voidaan kuitenkin tehdä yksinkertaisemminkin. Korottamalla alkuperäinen yhtälö suoraan neliöön saadaan

sin2x + cos2x + 2 sin x cos x = 2, mistä seuraa sin 2x = 1.

Tällöin 2x = p/2 + 2kp eli x = p/4 + kp. Neliöön korotus on tällöinkin tuonut mukanaan ylimääräisiä juuria. Tarkistus osoittaa, että kelvollisia ovat ainoastaan arvot

x = p/4 + 2kp.

Ratkaisu voidaan myös perustaa toisenlaiseen ideaan:

Jakamalla alkuperäinen yhtälö luvulla V~ -- 2 saadaan

1 V~ -- 2 sin x + 1 V~ -- 2 cos x = 1 eli
cos p -- 4 sin x + sin p -- 4 cos x = 1,

mistä sinin yhteenlaskukaavan avulla seuraa sin(x + p/4) = 1. Tällöin x + p/4 = p/2 + 2kp, mikä antaa saman ratkaisun kuin edellä.

  [#] yhtälö (juuri-)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12