Sisällön pääryhmät Yhtälöt ja epäyhtälöt Yhtälöt [ 1 2 3 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:  polynomiyhtälöt,  juuriyhtälöt,  itseisarvoyhtälöt,  transkendenttiyhtälöt,  trigonometrian kaavat,  logaritmifunktio,  Newtonin iteraatio,  yhtälöryhmät

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Yhtälöksi kutsutaan kahden lausekkeen merkittyä yhtäsuuruutta, joka sisältää vähintään yhden symbolin (tuntemattoman). Tämän arvo pyritään määräämään siten, että yhtälö toteutuu, so. lausekkeet ovat yhtä suuret. Yhtälöllä voi olla yksi tai useampia ratkaisuja — juuria — tai mahdollisesti ei lainkaan. Ratkaisujen lukumäärään vaikuttaa myös se, mistä lukujoukosta niitä etsitään. Tavallisinta on etsiä reaalisia ratkaisuja, mutta niitä voidaan etsiä myös kompleksilukujoukosta, luonnollisten lukujen joukosta tai jostakin näiden osajoukosta.

Esimerkkejä yhtälöistä ovat seuraavat:

Kohtien a ja b yhtälöillä on yksi tuntematon, x. Edellisellä yhtälöllä ei ole reaalisia juuria, kompleksisia on kaksi; jälkimmäisellä on äärettömän monta reaalista ratkaisua.

Kohdan c yhtälöllä on reaalialueella täsmälleen yksi ratkaisu kahdesta tuntemattomasta x, y huolimatta: x = -1, y = 2. Yhtälö voidaan nimittäin saattaa muotoon (x + 1)² + (y - 2)² = 0. Kompleksialueella ratkaisuja on äärettömän paljon: toinen tuntematon voidaan valita vapaasti ja sen jälkeen ratkaista toinen.

Kohdan d yhtälössä on kolme tuntematonta: x, y, z. Kompleksisia ratkaisuja on ilmeisestikin äärettömän paljon; itse asiassa mitkä tahansa kaksi tuntematonta voidaan valita vapaasti ja tämän jälkeen ratkaista kolmas. Reaalisia ratkaisuja on myös äärettömän paljon, mutta tällöin ei mitä tahansa kahta tuntematonta välttämättä voida valita aivan vapaasti. Mielenkiintoinen on tilanne, missä haetaan vain kokonaislukuratkaisuja; näitäkin on äärettömän paljon, ns. Pythagoraan luvut.

Pythagoras  Pythagoraan lause

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12