|
Derivaatta
| Aloitussivu |
| Funktion f derivaattaa pisteessä x merkitään f'(x) (tai Df(x)) ja se voidaan
luonnehtia funktion kuvaajalle pisteeseen (x,f(x)) asetetun tangentin
kulmakertoimeksi. Monessa mielessä hyödyllisempää on kuitenkin
käyttää määritelmänä erotusosamäärän raja-arvoa:
Tämä mahdollistaa mm. differentiaalin käsitteen määrittelyn:
differentiaali on tiettyyn pisteeseen liittyvä funktion suoraviivainen (lineaarinen)
approksimaatio. | Derivaatan määritelmä
Derivoituvuus
Differentiaali
|
| Erotusosamäärän raja-arvoa määritelmänä käyttäen voidaan johtaa
melkoinen määrä derivoimiskaavoja, mm. kaikkien ns. alkeisfunktioiden
derivaatat. Kaavojen avulla derivoinnista tuleekin sangen mekaaninen operaatio. | Summan, vakiokerrannaisen, tulon ja osamäärän derivaatta
Yhdistetyn funktion derivaatta
Käänteisfunktion derivointi
Luettelo derivaatoista
|
|
Esimerkkejä
- Lasketaan derivaatan määritelmää käyttäen
kohdassa
.
- Funktioiden
ja derivaatat.
Esimerkkejä derivaatan laskemisesta erotusosamäärän raja-arvona
- Lasketaan
sekä vastaava tangenttisuora, kun .
Funktion tangenttisuora kohdassa saadaan suoran yhtälöstä
, missä , sekä .
- Lasketaan
, kun .
- Lasketaan
, kun .
- (Mma) Derivaatta
| |
|
Harjoitustehtäviä
- Derivoi:
-

-

-

-

-

- Derivoi lisää:
-

-

-

-

-

- Derivoi vielä lisää:
-

-

-

- Laske funktioille derivaatta erotusosamäärän raja-arvoa käyttäen:
-
kohdissa ja 
-
kohdissa ja 
-

- Muodosta funktion
derivaatta ja tutki, millä :n
arvoilla se on negatiivinen.
- Funktiolla
on ominaisuudet ja
. Määritä kertoimet ja .
- Määritä paraabelin
pisteeseen piirretyn
tangentin yhtälö.
| Tehtävien vastaukset:
- tehtävä
- tehtävä
- tehtävä
- tehtävä
- tehtävä
- tehtävä
- tehtävä
|