Here be a line, if not the image is missing
 

Derivaatta

Aloitussivu

Funktion f derivaattaa pisteessä x merkitään f'(x) (tai Df(x)) ja se voidaan luonnehtia funktion kuvaajalle pisteeseen (x,f(x)) asetetun tangentin kulmakertoimeksi. Monessa mielessä hyödyllisempää on kuitenkin käyttää määritelmänä erotusosamäärän raja-arvoa:

f(x + h) − f(x) f'(x) = lim ----------------. h→0 h

Tämä mahdollistaa mm. differentiaalin käsitteen määrittelyn: differentiaali on tiettyyn pisteeseen liittyvä funktion suoraviivainen (lineaarinen) approksimaatio.

M Derivaatan määritelmä
M Derivoituvuus
M Differentiaali

 

Erotusosamäärän raja-arvoa määritelmänä käyttäen voidaan johtaa melkoinen määrä derivoimiskaavoja, mm. kaikkien ns. alkeisfunktioiden derivaatat. Kaavojen avulla derivoinnista tuleekin sangen mekaaninen operaatio.

M Summan, vakiokerrannaisen, tulon ja osamäärän derivaatta
M Yhdistetyn funktion derivaatta
M Käänteisfunktion derivointi
M Luettelo derivaatoista

Esimerkkejä

  1. Lasketaan derivaatan määritelmää käyttäen D √x-- kohdassa x = 2 .

    √ ------ √ -- √ ------ √ -- √ ------ √ -- --2-+-h-−---2 (--2-+-h-−---2)(--2 +√-h-+--2)- lhim→0 h = lhi→m0 h(√ 2 + h + 2) = lim --√2-+-h-−-2√---= lim √-----1---√-- h→0 h( 2 + h + 2) h→0 2 + h + 2 √ -- √ -- = √---1-√---= -√1--= -√---2√--= --2- 2 + 2 2 2 2 2 ⋅ 2 4


  2. Funktioiden 5 f (x ) = x ja √ -- f (x) = x derivaatat.

    M     Esimerkkejä derivaatan laskemisesta erotusosamäärän raja-arvona

  3. Lasketaan f '(3) sekä vastaava tangenttisuora, kun f(x ) = x2 − 2x − 1 .

    Funktion tangenttisuora kohdassa f(3) saadaan suoran yhtälöstä y − y0 = k(x − x0) , missä ' k = f (3) , y0 = f(3) sekä x0 = 3 .
    f (3) = 32 − 2 ⋅ 3 − 1 = 2 ' ' f (x) = 2x − 2, f (3) = 4 y − 2 = 4 (x − 3) ⇐ ⇒ y = 4x − 10

    kuvaaja1

  4. Lasketaan f '(x) , kun ln x f (x) = tanx + -2x , x ⁄= nπ, n ∈ ℕ e .

    ' sin-x- ln-x f (x) = D cosx + e2x 2x e--− ln x ⋅ 2e2x = cos-x ⋅-cosx-−-sinx-⋅ (−-sinx-)+-x-------------- cos2x e4x (1-−-2x-lnx)-e2x sin2x + cos2 x x = -------2------ + --------4x------- cos x 2xe = ---1-- + (1-−-2x-ln-x)e--- cos2 x xe4x ---1-- (1-−-2x-ln-x) = cos2 x + xe2


  5. Lasketaan f '(x) , kun ( x3 ) π f (x) = sin ----- , x ⁄= -- + nπ, n ∈ ℤ cosx 2 .

    -x3-- f(x ) = g (h (x)), miss ¨a g (x ) = sin x ja h (x ) = cosx 3x2cos x − x3 ⋅ (− sin x) g'(x ) = cos(x ) ja h'(x ) =-----------2----------- ( ) cos x ' -x3-- 3x2-cosx-−-x3-⋅ (−-sinx) f (x ) = cos cosx ⋅ cos2x ( 3 ) 2 3 = cos -x--- ⋅ 3x-cosx-+-x--sin-x- cosx cos2 x


  6. (Mma) Derivaatta
  

Harjoitustehtäviä

  1. Derivoi:

    1.   f(x ) = 4

    2.   f(x ) = 3x2 + 5x − 1

    3.   f(x ) = 1x162 − 1x102 + x − 1 3 2

    4.    97 f(x ) = 3x + ---- 132

    5.   f(x ) = tan (3x + 1)

  2. Derivoi lisää:

    1.   f(x ) = (2x4 + 7x )9

    2.    3x2 + 1 f(x ) = -------- x + 6

    3.   f(x ) = sin(2x )(x + 1)

    4.   f(x ) = √2x-−--3

    5.    6√------- f(x ) = 6x + 1

  3. Derivoi vielä lisää:

    1.   f(x ) = sin(2x ) + cos(3x2)

    2.   f(x ) = ln x-−-1- x + 1

    3.    −2x x−1 f(x ) = xe + 2

  4. Laske funktioille derivaatta erotusosamäärän raja-arvoa käyttäen:

    1.    √------- f(x ) = 2x + 4 kohdissa x = 6 ja x = 0

    2.    3 2 f(x ) = − 5x + 2x + 4 kohdissa x = 2 ja x = − 1

    3.   f(x ) = axn

  5. Muodosta funktion − 1(x− 3)2 f (x ) = e 2 4 derivaatta ja tutki, millä x :n arvoilla se on negatiivinen.

  6. Funktiolla x − x f(x) = Ae + 2Be on ominaisuudet f(0) = 1 ja ' f (0) = 2 . Määritä kertoimet A ja B .

  7. Määritä paraabelin y = 3x2 − 2x + 1 pisteeseen (1,2) piirretyn tangentin yhtälö.

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä
  4. tehtävä
  5. tehtävä
  6. tehtävä
  7. tehtävä