[#] Sisällön pääryhmät --> Derivaatta --> Derivointisäännöt [ 1 2 3 4 ]
ESITIEDOT: [#] derivaatta
KATSO MYÖS: [#] alkeisfunktioiden derivaatat
[#] Kansisivu
[#] Sisältö
[#] Hakemisto

Yhdistetyn funktion derivaatta

Yhdistetyn funktion derivoimissääntö tunnetaan myös ketjusäännön nimellä: ’Ulkofunktion derivaatta kertaa sisäfunktion derivaatta’:

D[f(g(x))] = f'(g(x)) g'(x).

Yleistys useampiin sisäkkäisiin funktioihin:

D[f(g(h(x)))] = f'(g(h(x))) g'(h(x)) h'(x).

Esimerkiksi lausekkeen sin((x2 + 1)7) voidaan katsoa muodostuvan kolmesta sisäkkäisestä funktiosta: uloin on sinifunktio, tämän sisällä on seitsemänteen potenssiin korottaminen ja sisimpänä funktio x2 + 1; siis f(z) = sin z, g(y) = y7, h(x) = x2 + 1. Derivaatta on tällöin

cos(g(h(x)) . 7h(x)6 . 2x = cos((x2 + 1)7) 7(x2 + 1)6 2x
      = 14x(x2 + 1)6 cos((x2 + 1)7).

Myös ketjusääntö voidaan johtaa suoraan derivaatan määritelmän pohjalta erotusosamäärän raja-arvona.

  [#] yhdistetty funktio
 [#] derivaatta
 [#] erotusosamäärä
 [#] raja-arvo (funktion)

Kivelä, M niinkuin matematiikka, versio 1.12