Differentiaaliyhtälöiden tarkastelun pohjana ovat seuraavissa dokumenteissa esitettävät peruskäsitteet. Nämä on syytä silmäillä pääkohdittain lävitse ja palata niihin myöhemmin tarpeen mukaan.
Dokumenttien lopussa on aiheeseen liittyviä linkkejä paketin muihin osiin. Näistä kannattaa katsoa ainakin esimerkit, harkinnan mukaan myös muuta. Linkit saattavat myös viitata asioihin, jotka tulevat kurssilla esiin vasta myöhemmin.
Kurssin keskeisenä sisältönä ovat toisaalta erilaiset menetelmät differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseksi ja toisaalta yhtälöiden ja niiden ratkaisujen kvalitatiiviset ominaisuudet. Ratkaiseminen voi tapahtua algebrallisesti, ts. soveltamalla erilaisia derivointi- ja integrointimenettelyjä, tai numeerisesti, ts. etsimällä numeerisella laskennalla ratkaisun approksimaatio. Muodostamalla graafisia esityksiä saadaan myös tietoa differentiaaliyhtälöiden ominaisuuksista:
Graafisten esitysten tekemiseen on DelTa-paketissa DiffEqWeb-niminen työkalu. Tämä jakautuu kahteen osaan: DEW1 piirtää suuntakenttiä ja ratkaisukäyriä ensimmäisen kertaluvun yhtälöille, DEWn käsittelee korkeampien kertalukujen yhtälöitä. Tutustu tässä yhteydessä DEW1:een. (Huomaa, että DiffEqWebissä riippumattoman muuttujan symbolina on t eikä x kuten tavallisesti. Syynä ovat sovellukset, joissa riippumaton muuttuja usein — vaikka ei aina — on aika. Saatavilla on myös erilliset ohjeet.)
Jos ollaan kiinnostuneita yksinomaan ratkaisun löytämisestä, on useissa — mutta ei kaikissa — tapauksissa yksinkertaisinta käyttää jotakin laskentaohjelmaa. Sekä algebrallista että numeerista ratkaisemista varten laskentaohjelmista yleensä löytyy valmiit komennot tai (tietotekniset) funktiot. Mathematica-ohjelman tarjoamat mahdollisuudet on esitetty seuraavissa dokumenteissa. Näihin on syytä perehtyä sen verran huolellisesti, että pystyy käyttämään ohjelmaa työkaluna.
Dokumentit ovat Mathematican muistikirjan (Notebook) html-muotoisia tulostuksia. Myös alkuperäiset muistikirjatiedostot ovat saatavilla: niihin on linkki html-tiedoston alussa. Tiedosto on avattava Mathematican keinoin. Muistikirjamuodon tutkiminen antaa enemmän kuin html-muodon: muutosten ja kokeilujen tekeminen sekä uudelleen laskeminen on mahdollista.
Ratkaisukomennoissa käytettyjen algoritmien luonnetta käsitellään kurssilla myöhemmin.
Mathematican käytön mahdollisuuksia valaisevat erityiseti seuraavat esimerkit:
Differentiaaliyhtälön yleinen ratkaisu on käyräparvi. Yhtälön ratkaisemiselle käänteinen ongelma on annetun käyräparven differentiaaliyhtälön etsiminen:
Kurssissa tullaan käsittelemään useita erilaisia menetelmiä differentiaaliyhtälöiden ratkaisumenetelmiä. Usein lähtökohtana on, että tietty menettely sopii vain tietynlaiselle yhtälölle. Yksinkertaisin tapaus on separoituvan differentiaaliyhtälön ratkaiseminen:
Yksinkertaisia esimerkkejä differentiaaliyhtälöiden käyttämisestä fysikaalisen tilanteen mallintamiseen ovat kuuman kappaleen jäähtymisen tarkasteleminen tai tykinammuksen lentoradan laskeminen:
Kotitehtävät ovat seuraavat:
Eräisiin kotitehtäviin on tarjolla ohjeita ja vihjeitä.
Tutki käyräparven kohtisuorien leikkaajien määrittämistä seuraavan sovellusesimerkin avulla:
Ratkaise esimerkin lopussa annettu harjoitustehtävä Mathematicaa käyttäen ja varusta ratkaisusi lyhyillä selityksillä ja henkilötiedoillasi. Talleta syntynyt muistikirja ja lähetä se liitetiedostona YY:lle. Viimeinen luovutuspäivä on maanantai 26.2.2001, mutta välikokeen takia vielä seuraavana päivänä lähetetyt otetaan huomioon.
Valitse viikon harjoitustehtäväkokoelmasta 3 – 5 erityyppistä tehtävää ja ratkaise ne. Ratkaisemiseen voit yhtä hyvin käyttää kynää ja paperia kuin tietokonettakin. Kirjoita ratkaisuista lyhyt selostus, jossa suhteutat tehtävät viikolla käsiteltävään teoriaan. Luovuta paperikopio täten syntyneistä työkirjan sivuista oman harjoitusryhmäsi assistentille viimeistään keskiviikkona 28.2.2001.