Pikku-M: Piste, suora, taso

Here be a line, if not the image is missing

Piste, suora, taso

Piste ja suora, kolmiulotteisessa avaruudessa myös taso ovat geometrisia peruskäsitteitä. Niitä voidaan tarkastella ’sellaisinaan’, synteettisen geometrian keinoin Eukleideen tapaan. Tällöin suoran määrää yksikäsitteisesti kaksi pistettä ja tason kolme pistettä, jotka eivät saa olla samalla suoralla.

Vaihtoehtoisesti voidaan käyttää vektoreita, jolloin päädytään vektorigeometriaan, tai koordinaattiesityksiä, jolloin päädytään koordinaattigeometriaan.

Vektorigeometriassa piste esitetään paikkavektorilla, so. origosta pisteeseen osoittavalla vektorilla. Jos käytetään koordinaatteja, pisteen paikka määräytyy tasossa kahdella ja avaruudessa kolmella koordinaatilla. Nämä ovat usein suorakulmaisia xy- tai xyz-koordinaatteja, mutta myös napa- tai pallokoordinaatteja voidaan käyttää.

Pisteen identifiointi
Pisteen paikkavektori erilaisissa koordinaatistoissa
Kahden pisteen etäisyys

Ehkä helpoin tapa suorien laskennalliseen käsittelyyn on vektoriesityksen käyttäminen. Tästä voidaan tarvittaessa purkaa perinteinen analyyttisessa geometriassa käytetty suoran yhtälö. Joissakin tapauksissa kulmakertoimen käyttäminen on näppärää, mutta vektoriesityksen suuntavektori kattaa paremmin kaikki tilanteet: y-akselin suuntaisella suoralla ei ole kulmakerrointa; avaruussuoraa ei edes voida esittää yhdellä yhtälöllä.

Suoran vektoriesitys
Suoran yhtälö
Suoran kulmakerroin
Kulmakertoimen laskeminen

Kaksiulotteisen tason suoraa vastaa kolmiulotteisessa avaruudessa taso. Tasolla on vektoriesitys samaan tapaan kuin tasogeometrian suoralla ja tästä voidaan purkaa analyyttisessa geometriassa perinteisesti käytetty tason yhtälö. Avaruussuoraa ei voida esittää yhdellä yhtälöllä, vaan sitä on ajateltava kahden tason leikkaussuorana, jolloin yhtälöitä on kaksi.

Tason vektoriesitys
Tason yhtälö
Suora kolmiulotteisessa avaruudessa

Esimerkkejä

Suorien $2x − 3y + 5 = 0$ ja $y = 5 − x$ yhteiset pisteet saadaan muodostamalla yhtälöpari.

${ { 2x − 3y + 5 = 0 2x − 3y + 5 = 0 ⇒ x + y − 5 = 0 − 2x − 2y + 10 = 0 ⇒ − 5y + 15 = 0 ⇒ y = 3$

Ratkaistaan $x$ sijoittamalla $y = 3$ jälkimmäiseen suoraan.
$x + 3 − 5 = 0 ⇒ x = 2$
Suorat leikkaavat pisteessä $(2,3)$ .
Muunnetaan ratkaistuun muotoon suora ${ x = 2 + t y = 3 + 2t$ .
${ { x = 2 + t ⇒ t = x − 2 y = 3 + 2t t = y ∕2 − 3∕2 ⇒ x − 2 = y∕2 − 3∕2 ⇒ y = 2x − 1$

Suoran ratkaistu muoto on $y = 2x − 1$ .
Määritetään pisteiden $(1,2)$ ja $(− 4,6)$ kautta kulkevan suoran yhtälö.
Määritetään suoran kulmakerroin $k$ .

$y2 − y1 6 − 2 4 k = --------= ------- = − -- x2 − x1 − 4 − 1 5$
Suoran kulmakerroin on negatiivinen eli suora on laskeva. Sijoitetaan ensimmäinen piste ja saatu kulmakerroin suoran yhtälöön $(y − y ) = k(x − x ) 1 1$ .
$4 4 14 y − 2 = − -(x − 1) ⇔ y = − -x + --- 5 5 5$
Pisteiden kautta kulkevan suoran yhtälö on $y = − 45x + 145$ .
Selvitetään ovatko pisteet $a = (1,2,3)$ , $b = (7,− 1,3)$ ja $c = (− 5, 5,− 3 )$ samalla suoralla.

Muodostetaan vektorit pisteiden $a$ ja $b$ sekä $a$ ja $c$ välille. Jos pisteet ovat samalla suoralla, nämä vektorit ovat yhdensuuntaisia.

$−→ ab = (7 − 1)i + (− 1 − 2)j + (3 − 3)k = 6i − 3j + 0k$
$−→ ac = (− 5 − 1)i + (5 − 2)j + (− 3 − 3)k = − 6i + 3j − 6k$

Vektorit ovat yhdensuuntaiset, jos on olemassa $k ∈ ℝ$ , siten että

$( −→ −→ |{ 6 = − 6k ab = k ⋅ac ⇔ − 3 = 3k . |( 0 = − 6k$
Tälläistä vakiota $k$ ei ole olemassa, eli pisteet eivät ole samalla suoralla.
Tutkitaan ovatko tasot $x − 3y − 4z = 0$ ja $2x − 6y + 8z + 2 = 0$ yhdensuuntaiset.

Riittää tutkia ovatko tasojen normaalit yhdensuuntaiset, eli onko olemassa kerrointa $a ∈ ℝ$ siten että $n1 = an2$ . Tasojen eräät normaalit saadaan tasojen yhtälöiden kertoimista: $n1 = i − 3j − 4k$ ja $n2 = 2i − 6j + 8k$ .
$( |{ 2a = 1 i − 3j − 4k = a(2i − 6j + 8k ) ⇔ | − 6a = − 3 ( 8a = − 4$

Kun ratkaistaan kaksi ensimmäistä yhtälöä, saadaan $a = 12$ , mutta kolmannesta tulee $a = − 12$ . Ei siis ole olemassa kerrointa, jolla normaalit olisivat samat, eli tasot eivät ole yhdensuuntaiset.
Olkoon suora $Q = (− 2i + j) + t(2i + j)$ .
Suoran suuntavektori $s$ on $2i + j$ , ja suoran normaalivektori $n$ saadaan yhtälöstä $n ⋅ s = 0$ .
$n ⋅ s = 0 (ai + bj) ⋅ (2i + j) = 0 2a + b = 0$

Esimerkiksi $a = 1$ ja $b = − 2$ toteuttavat yhtälön, eli vektori $n = i − 2j$ on eräs suoran normaalivektoreista. Normaalivektorin ja suoran pisteen $xi + yj$ avulla saamme yhtälön xy-tason muotoon:

$n ⋅ ((xi + yj) − (− 2i + j)) = 0 (i − 2j) ⋅ ((xi + yj) − (− 2i + j)) = 0 (i − 2j) ⋅ ((x + 2)i + (y − 1)j) = 0 1 ⋅ (x + 2) − 2 ⋅ (y − 1) = 0 x − 2y + 4 = 0$

Huomataan, että suoran yhtälön kertoimet vastaavat sen normaalivektorin kertoimia.

Harjoitustehtäviä

Määritä suoran yhtälö, kun suora kulkee pisteiden ja kautta.
1. $A = (2,− 1), B = (3,2)$
2. $A = (− 1, − 6), B = (2,2)$
3. $A = (− 5, 2), B = (7,− 4)$
Määritä suoran parametriesitys, kun suora kulkee pisteiden ja kautta.
1. $A = (3,1,1), B = (1,1, 1)$
2. $A = (1,2,3), B = (5,− 4,3 )$
Ovatko suorat yhdensuuntaiset?
1. $2x + 3y = 4$ ja $4x + 5y = 8$
2. $3x + 4y = 6$ ja $6x + 8y = 7$
3. $− 9x + 21y = 27$ ja $3x − 7y = 11$
4. $4x + 2y = 3$ ja $y = 2x + 1$
Ovatko pisteet samalla suoralla?
1. $(1,1,1), (2,3,1), (4,7,5)$
2. $(− 2,3), (2,− 1 ), (5,1)$
3. $(− 19,0,2), (33,− 4,− 8), (7,− 2,− 3)$
Millä $a$ :n arvoilla suorat $ax + 4y = 7$ ja $2x + 5y = 4$ ovat yhdensuuntaiset? Kohtisuorat?
Mikä suora
1. on suoran $3x + 2y − 1 = 0$ suuntainen ja kulkee pisteen $(− 2, − 3)$ kautta?
2. on kohtisuorassa suoraa $x − 4y = 87$ ja kulkee pisteen $(1, − 5)$ kautta?
Ovatko pisteet $(2,0,2), (3,− 1, − 1), (4,3,− 2)$ ja $(3,− 2,1)$ samassa tasossa?