Jakauman tunnusluvut

Sisällön pääryhmät -->

Todennäköisyys -->

Todennäköisyysjakaumat [ 1 2 3 4 5 ]
ESITIEDOT: [#]

todennäköisyyslaskenta, [#]

määrätty integraali
KATSO MYÖS: [#]

tilastomatematiikka

Kansisivu

Sisältö

Hakemisto

Jakauman tunnusluvut

Erilaisia jakaumia pyritään luonnehtimaan sopivilla tunnusluvuilla.

Tärkein näistä on odotusarvo, jota voidaan luonnehtia stokastisen muuttujan saamien arvojen painotetuksi keskiarvoksi, jossa painoina ovat todennäköisyydet.

Jos diskreetti satunnaismuuttuja X saa arvot x_k todennäköisyyksillä p_k, odotusarvo on

E(X) = sum

k x_kp_k.

Jos jatkuvan satunnaismuuttujan tiheysfunktio on f(x), on odotusarvo

E(X) = integral oo

- oo xf(x) dx.

Tämäkin on todennäköisyyksillä painotettu keskiarvo, kuten nähdään tarkastelemalla integraalia vastaavaa Riemannin summaa. Esimerkiksi yhden nopan heitossa odotusarvo on

1^. 1
--
6 + 2^. 1
--
6 + 3^. 1
--
6 + 4^. 1
--
6 + 5^. 1
--
6 + 6^. 1
--
6 = 3.5 ;

kyseessä on silmälukujen suora keskiarvo, koska kaikki pistetodennäköisyydet ovat samoja.

Binomijakauman ja väliä [a, b] vastaavan tasaisen jakauman odotusarvoiksi saadaan

sum n

k=0 k (n )

k p^k(1 - p)^n-k = np ja integral b

a x
-----
b - a dx = a + b
-----
2 .

Jakauman laajuutta — hajontaa — odotusarvon E(X) = ympärillä voidaan mitata tarkastelemalla etäisyyttä |X - | (joka itse on stokastinen muuttuja). Tämän neliön odotusarvo on jakauman varianssi:

² = E((X - )²).

Varianssin neliöjuuri = V~ -----------2-
E((X - m) ) on jakauman keskihajonta. Diskreetin ja jatkuvan jakauman tapauksessa varianssille voidaan johtaa lausekkeet