Here be a line, if not the image is missing
 

Trigonometriset funktiot

Aloitussivu

Trigonometriset funktiot määritellään aluksi suorakulmaisen kolmion sivujen suhteiden avulla. Tällöin muuttujana on yleensä asteissa ilmaistu kolmion terävä kulma, ja funktioita käytetään kolmion sivujen pituuksien ratkaisemisessa.

Trigonometrisilla funktioilla on kuitenkin paljon muutakin käyttöä, esimerkiksi erilaisten värähtelyilmiöiden kuvaamisessa. Määrittely laajennetaan tällöin yksikköympyrän avulla, ja muuttuja voi saada minkä tahansa reaaliarvon. Muuttujaa — joka edelleen voidaan tulkita kulmaksi — ei enää ilmaista asteissa vaan radiaaneissa. Esimerkiksi värähtelyilmiöitä mallinnettaessa ei muuttujaa useinkaan ajatella kulmana, jolloin asteiden käyttö ei ole luontevaa.

Trigonometristen funktioiden muuttuja onkin matematiikassa samoin kuin tietokoneohjelmistoissa ilmaistu radiaaneissa, ellei nimenomaan toisin mainita. Täysi kierros — joka on myös funktioiden jakson pituus — on siten suuruudeltaan 2π .

M Trig. fkt. suorakulmaisessa kolmiossa
M Trig. fkt. yleinen määrittely
M Trig. fkt. merkkikaaviot
M Trig. fkt. tärkeät arvot
M Trig. fkt. perusominaisuudet
M Kulman mittaaminen

 

Trigonometrisia funktioita koskevia kaavoja on paljon. Ulkoa opetteluun ei kuitenkaan ole syytä muutamaa peruskaavaa lukuun ottamatta. Suurin osa kaavoista onkin melko helposti johdettavissa ja tarvittaessa mieleen palautettavissa.

M Ulkoa muistettavat peruskaavat
M Helposti johdettavat kaavat
M Trig. fkt. lausuminen toistensa avulla

Esimerkkejä

  1. Trigonometristen funktioiden kuvaajia: kuvaaja1
    kuvaaja2
    kuvaaja3

  
 
  • Muunnnetaan radiaanit asteiksi ja toisinpäin. Radiaaneille ja asteille pätee: 180∘ = π[rad] .

    185 ⋅ π 37π a) 185∘ = ------- = ---- 180∘ 3∘6 b) 2 = 2-⋅ 180-= 360--≈ 114,6 ∘ π π 4π 4π ⋅ 180∘ ∘ c) ---= ---------= 144 5 5 ⋅ π



  • Etsitään kaikki ratkaisut, joilla pätee 2cos(3x) − 1 = 0 .

    Ratkaistaan ensin yhtälöstä cos(3x ) :

    2 cos(3x) − 1 = 0 2 cos(3x) = 1 1- cos(3x ) = 2.

    Muistikolmiosta saamme kulman π 3 , joka on eräs yhtälön ratkaisu. Kosinin ominaisuuksien perusteeella myös kulman vastakulma π − 3 toteuttaa yhtälön. Loput ratkaisut saadaan kosinin jaksollisuuden avulla:

    π- π- 2π- 3x = 3 + 2πn ⇒ x = 9 + 3 n

    π π 2π 3x = − --+ 2πn ⇒ x = − --+ --n 3 9 3

    kuvaaja4

  • Yhtälön sin 2x = cos 2x kaksi erilaista ratkaisutapaa.

    M Esimerkki 1 trigonometrisestä yhtälöstä
     
  • Yhtälön √ -- sin x + cos x = 2 ratkaiseminen sijoituksella ja neliöönkorotuksella.

    M Esimerkki 2 trigonometrisestä yhtälöstä

(LiveGr3D) Kulma radiaaneissa ja asteissa

Harjoitustehtäviä

  
 

  1. Etsi kaikki ratkaisut:

    1.    1 sin(x) = − -- 2

    2.    √ -- --3- sin(2x) = 2

    3.   √ -- 2 cos(2x ) = 1

    4.   tan(3x ) = 1

  2. Ratkaise:

    1.   sin(x) = sin (3x)

    2.   tan(2x ) = tan (π4 − x)

    3.   cos(x) + cos(3x) = 0

  3. Määritä funktioiden suurin ja pienin arvo:

    1.   f(x ) = (sin(x))2 + sin(x )

    2.    ∘ ----2------2---- f(x ) = 8sin (x)cos (x)

    3.    π- π- f(x ) = sin(x − 4)sin(x + 4 )

Tehtävien vastaukset:

  1. tehtävä
  2. tehtävä
  3. tehtävä