Sisällön pääryhmät Integraali Pinta-alojen ja tilavuuksien laskeminen [ 1 2 3 4 5 6 ] ESITIEDOT:  määrätty integraali KATSO MYÖS:  integroimistekniikkaa,  pinta-aloja ja tilavuuksia

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Olkoon laskettavana sen segmentin ala, joka jää paraabelin y = ax² ja suoran y = kx + b väliin. Tällöin oletetaan, että vakiot a, k ja b ovat siten valitut, että suora todella on paraabelin sekantti; oletetaan lisäksi, että paraabeli aukeaa ylöspäin, ts. a > 0.

Ratkaisemalla yhtälöryhmä

saadaan paraabelin ja suoran leikkauspisteiden x-koordinaateiksi

x₁ = , x₂ = .

Tässä x₁ < x₂.

Koska segmentti sijaitsee välillä [x₁, x₂] ja tällä välillä suora on paraabelia ylempänä, on kohdassa x = v_j sijaitsevan suorakulmion korkeus kv_j + b - av ja kanta x_j, mikä johtaa alaa approksimoivaan Riemannin summaan (kv_j + b - av)x_j. Jakoa tihennettäessä tämä lähestyy integraalia

(kx + b - ax²) dx.

Integraalin laskeminen antaa pinta-alaksi

.

Tulos on pätevä myös, jos a < 0. Riemannin summassa tosin suorakulmion korkeus kv_j + b - av on tällöin negatiivinen, mutta tästä aiheutuva merkkivirhe kumoutuu siinä, että rajojen x₁ ja x₂ suuruusjärjestys muuttuu päinvastaiseksi, kun a < 0.

segmentti  paraabeli (xy-koordinaateissa)  suora (yhtälö)  sekantti (suora)  yhtälöryhmä  väli (reaaliakselin)  Riemannin summa  määrätty integraali  integrointi (kaavat)  integrointi (kaavat)  integrointi (sijoitus)  integrointi (osittais-)

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12