Sisällön pääryhmät Geometriset probleemat Algebralliset menetelmät geometriassa [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  polynomiyhtälöt,  Pythagoraan lause,  piste,  suora,  taso KATSO MYÖS:  geometriset probleemat,  kolmio,  ympyrä,  pallo,  monikulmiot,  monitahokkaat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Janan kultaisella leikkauksella tarkoitetaan sen jakamista kahteen osaan siten, että koko janan pituuden suhde isompaan osaan on sama kuin isomman osan suhde pienempään osaan. Jos janan pituus on a ja isomman osan pituus x, tulee siis olla

= .

Tämä johtaa toisen asteen yhtälöön x² + ax - a² = 0, jolla on ratkaisuna

x = - ± .

Miinusmerkki juuren edessä ei tule kysymykseen, koska jananpituuden x tulee olla positiivinen. Tulokseksi saadaan sievennysten jälkeen

x = a.

Pituudeltaan a olevan janan kultainen leikkaus on saadun lausekkeen perusteella myös konstruoitavissa geometrisesti, so. harpilla ja viivoittimella. Tätä varten piirretään ensin suorakulmainen kolmio, jonka kateetit ovat a ja a/2; hypotenuusa on tällöin Pythagoraan lauseen mukaan . Kun tästä erotetaan (harpilla) pois toinen kateetti a/2, jää jäljelle etsitty jana x. Piirrä!

Janan kultainen leikkaus (lat. sectio aurea), jota usein kutsutaan myös janan jakamiseksi jatkuvaan suhteeseen, oli jo Pythagoraan aikana tunnettu. Varsinkin keskiajalla kultainen leikkaus oli suuren huomion kohteena ja sitä pidettiin taiteessa perustavan tärkeänä. Esimerkiksi rakennuksen ikkuna-aukkojen sopusuhtaisuuden on katsottu vaativan sivujen pituuksien mitoittamista kultaisen leikkauksen suhteeseen.

yhtälö (toisen asteen)  kolmio  kateetti  hypotenuusa  Pythagoraan lause  Pythagoras

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12