Sisällön pääryhmät Geometriset probleemat Algebralliset menetelmät geometriassa [ 1 2 3 ] ESITIEDOT:  polynomiyhtälöt,  Pythagoraan lause,  piste,  suora,  taso KATSO MYÖS:  geometriset probleemat,  kolmio,  ympyrä,  pallo,  monikulmiot,  monitahokkaat

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Pallon sisään sijoitetaan säännöllinen tetraedri siten, että sen kärjet ovat pallon pinnalla. On määritettävä pallon säteen ja tetraedrin särmän suhde. Olkoon pallon säde r ja tetraedrin särmän pituus a.

Säännöllisen tetraedrin sivutahkot ovat tasasivuisia kolmioita. Tetraedrin korkeusjana kohtaa vastaisen sivutahkon sen keskipisteessä, joka on myös keskijanojen leikkauspiste ja siis jakaa keskijanat suhteessa 2 : 1.

Oheiset kuviot esittävät tetraedria pohjatahkon vastaisine korkeuksineen sekä pallon ja tetraedrin leikkausta sellaisella tasolla, joka kulkee pallon keskipisteen ja tetraedrin kahden kärjen kautta.

Kuvioiden perusteella saadaan Pythagoraan lausetta käyttäen yhtälöt

r² = x² + ², a² = (r + x)² + ².

Näistä on eliminoitava x, jolloin saadaan pituuksien a ja r välinen ehto.

Helpoimmin eliminointi tapahtuu ratkaisemalla edellisestä yhtälöstä a² ja sijoittamalla se jälkimmäiseen. Tällöin saadaan 2(r² - x²) = (r + x)², mikä voidaan jakaa tekijällä r + x (0). Tuloksena on x = r/3 ja tämän perusteella a/r = 2/.

pallo  tetraedri (esimerkki)  tetraedri  särmä  tasasivuinen  keskijana  Pythagoraan lause

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12