Sisällön pääryhmät Luvut Reaaliluvut [ 1 2 3 4 5 6 7 ] ESITIEDOT: KATSO MYÖS:  murtoluvut,  lukujärjestelmät,  kompleksiluvut

Kansisivu  Sisältö  Hakemisto

Periaatteessa rationaaliluvut riittävät kaikissa käytännöllisissä tehtävissä. Esimerkiksi minkä tahansa suureen miten tarkka likiarvo tahansa on lausuttavissa rationaalilukujen avulla: 7.3478 = 7 + .

Teoreettisissa tarkasteluissa rationaaliluvut osoittautuvat riittämättömiksi. Klassisia ongelmia ovat neliön sivun pituuden lausuminen murto-osana lävistäjän pituudesta ja ympyrän kehän pituuden lausuminen halkaisijan avulla. Näistä voidaan todistaa, että verrannollisuuskertoimet eivät ole rationaalilukuja:

Pythagoraan lauseen mukaan neliön sivun pituudelle a ja lävistäjän pituudelle c pätee c² = 2a²; alkeellisesti voidaan osoittaa, että rationaalilukua, jonka neliö olisi 2, ei voi olla olemassa. Ympyrän kehän ja halkaisijan pituuksien suhteen — luvun — osalta todistus on vaikeampi; sen on ensimmäisenä esittänyt Johann Heinrich Lambert vuonna 1761.

Mainituissa tapauksissakin voitaisiin tietysti tyytyä likiarvoihin, mutta on miellyttävää ajatella, että on olemassa täsmällinen suhdeluku. Tämä merkitsee uusien lukujen, irrationaalilukujen liittämistä rationaalilukujen joukkoon. Rationaaliluvut ja irrationaaliluvut yhdessä muodostavat reaalilukujen joukon, symbolina .

Irrationaalilukua voitaisiin luonnehtia olioksi, jolle on ainakin periaatteessa mahdollista laskea mielivaltaisen tarkkoja rationaalisia approksimaatioita. Itse asiassa täsmällinen määritelmä voidaan perustaa juuri tähän ajatukseen.

Pythagoraan lause  pii  pii (sarja)  Lambert (pii)  joukko

Kivelä, niinkuin matematiikka, versio 1.12