Kompleksitaso

Sisällön pääryhmät -->

Luvut

Kompleksiluvut [ 1 2 3 4 5 6 ]
ESITIEDOT: [#]

reaaliluvut
KATSO MYÖS: [#]

polynomien tekijöihin jako, [#]

vektori

Kansisivu

Sisältö

Hakemisto

Kompleksitaso

Lukukäsitteen vaiheittainen laajennus johtaa luonnollisista luvuista kokonaislukujen ja rationaalilukujen kautta reaalilukuihin. Jokaisessa vaiheessa ratkeavien yhtälöiden määrä lisääntyy: yhtälö x + 2 = 0 ei ratkea luonnollisten lukujen joukossa, mutta kylläkin kokonaislukujoukossa; yhtälöllä 3x = 2 ei ole kokonaislukuratkaisua, mutta rationaalinen ratkaisu sillä on; yhtälön x² - 2 = 0 ratkeavuus edellyttää rationaalilukujoukon laajentamista reaalilukujoukoksi.

Jokaisessa vaiheessa uusi lukujoukko on edellisen laajennus: edeltäjä on uuden joukon osajoukko. Prosessia voidaan jatkaa. Yhtälöllä x² + 1 = 0 ei ole ratkaisua reaalilukujoukossa, mutta laajentamalla reaalilukujoukko edelleen kompleksilukujen joukoksi tällekin yhtälölle (ja samalla kaikille polynomiyhtälöille) löydetään ratkaisu.

Formaalisti laskemalla yhtälön ratkaisuksi saataisiin x = ± V~ --1 . Ongelmaksi tällöin jää, mitä itse asiassa tarkoittaa V~ --
- 1 , jolle käytetään myös merkintää i. Vaikka tarkastelua voitaisiin tältäkin pohjalta jatkaa, saattaa olla luonnollisempaa suorittaa laajennus geometrisesti:

Lukusuora sijoitetaan xy-tason x-akseliksi ja koko xy-tasoa aletaan kutsua kompleksitasoksi. Sen pisteet (x, y) ovat kompleksilukuja. Näiden muodostama joukko — siis itse asiassa xy-taso — on kompleksilukujen joukko, symbolina .

Reaaliluvut ovat x-akselilla olevia pisteitä, so. muotoa (x, 0). Muut pisteet ovat imaginaarilukuja. Tilanne on siten samankaltainen kuin aikaisemmin: edeltävä lukujoukko on uuden osajoukko.

Näkemys kompleksiluvuista xy-tason pisteinä on peräisin 1700- ja 1800-lukujen vaihteen ajalta. Kompleksilukujen historian voidaan kuitenkin katsoa alkavan lähes kolme sataa vuotta aikaisemmin polynomiyhtälöiden ratkaisujen tutkimisesta.